9.2. Декартовы образующие 163 вид Т* = 3(ТУ = СТ(С ')*. Поэтому справедливы следующие определения. Определение 9.2.5. Квантовой группой 5Од(АГ;К) называется алгебра 5Од(Аг), снабженная *-антиинволюцией 1*к = 3(Дщ), г,К = Определение 9.2.6. Алгебра 0^(0), снабженная антиинволюцией х* = С*х, о*К = дркхщ, К = 1..., А”, называется квантовым Аг-мерным вещественным евклидовым пространством Ор (Ж). Посколвку Г* = С*Т(О'-1)4 и х* = С*х, то 3*(х) = <(ж*), и действие квантовой группы 5<0д(А";Н^) на квантовом евклидовом пространстве Ср (Ж) сохраняет квадратичную форму х*Сх = х**х в том смысле, что 6(х**х) = 1 ®х**х. Отсюда естественно вытекает определение. Определение 9.2.7. Фактор-алгебра алгебры Ор (Ж) по соотношению х*'1х = 1 называется квантовой (А — 1)-мерной ортогоналвной сферой сД-1 Матрица С имеет ненулевые элементы толвко на побочной диагонали. Они равны единице в коммутативном пределе д = 1. Поэтому квантовая группа 5<0д(А") и квантовое векторное пространство Ор описываются уравнениями (9.22)-(9.24),(9.28) в так называемых «симплек- тических» или «кососимметрических» образующих 1^, г,д = 1....А’’, которые в недеформированном случае д = 1 связань1 с инвариантной формой х*Сох = ту, определяемой матрицей Со, имеющей ненулевые единичные элементв1 толвко на побочной диагонали. Получим описание алгебры 5<0д(АГ) в новых образующих и^, г,д = = 1,...,А’’, связанных с Оу соотношениями (9.13). Подставляя (9.13) в (9.25) и исполвзуя линейности антигомоморфизма 3, имеем з(т) = з(вип~{ = пз(Д)П-1 = с(С)-1д<(С)С'-1, откуда после умножения слева на числовую матрицу П матрицу И находим антипод 3 для образующих Д и справа на 5(17) = 0'Д‘(0''-1, (9.31) где , , . О = оОол'). (9.32) Антипод обладает свойством д2(д) = (р-лсс*о'}1и(о-{сс1'О}-{. (9.33) Квантовая группа 5<0д(А") является алгеброй Хопфа, в которой для образующих V с коммутационными соотношениями (9.18), где матрица К заменена на матрицу (9.22), коумножение и коединица задаются (9.19) и (9.20), а антипод — формулой (9.31). Дополнительные соотношения (9.24) в терминах образующих Д имеют вид сс'и1 = С, ц\с')-1с = (о')-1. (9.34) 6* Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=