170 Гл. 9. Квантовые ортогональные группы Кэли-Клейна Можно проверить, что при таком выборе 3 формулы данного раздела определены при любых значениях параметров у’ и описывают весь набор квантовых ортогональных групп Кэли-Клейна. В симплектическом базисе квантовая группа Кэли-Клейна порождается матрицей генераторов Т(у( е М^Рфц.}), распределение контракционных параметров в которой задается в соответствии с (9.13) соотношением Т(у) = . Некоммутативные матричные элементы Т(у) подчиняются коммутационным соотношениям валт^ю® = 99641) а дополнительные соотношения (г, ^(-ортогональности имеют вид Т*(з)С(3)Т(3) = С(зф ТМС-^*))^), (9.65) где нижнетреугольная —матрица -йДу) и матрица С(у) получаются из матриц Од (9.22) и С (9.24), соответственно, заменой квантового параметра г на новый параметр деформации Тг : — (у) = П), С(у) = Сф^Зг}. (9.66) При этом, как нетрудно показать, справедливо Утверждение 9.3.2. Фактор-алгебра ЗСЦИ-ф) = РШ)/(9.64), (9.65) (9.67) есть алгебра Хопфа с коумножением X, коединицей е и антиподом 3 : АТО') = Т(у(®Т(у(, е(Т(3)) = I, 8(т3)) = С&Т*)С-'\з(. (9.68) Из всех операций, входящих в структуру алгебры Хопфа, наиболее простой, с точки зрения получения выражений для конкретных образующих, является коединица е. Следующая по сложности операция — это коумножение Д, которое фактически сводится к умножению матриц (9.5). Несколько более сложным является нахождение антипода 3. Однако наиболее трудным делом оказывается получение коммутаторов для образующих О о или ир с помощью соотношений (9.59) или (9.64). В общем случае произвольного N решение этих уравнений для квантовой группы б'ОДЛфу) или даже ЗОд(ХТ) неизвестно. В явном виде полный набор коммутаторов получен для простейшей квантовой группы 30г(3\3(. 9.3.2. Квантовые группы 8Ог(3; у). Введем обозначения С\ = = сЪ.Зх, 31 = вкЗг, .3 = 3132- Матрица генераторов / иц 31Н12 3132'^^13 \ ^Ф) = I ф1'«21 и22 №23 1 (9.69) \ 32.32 изз / Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=