180 Гл. 9. Квантовые ортогональные группы Кэли-Клейна 9.5. Квннтввыеллгбрры аоДУХГ; ^') как двойственные к8Оя(Ы;з) 9.5.1. Определения. В соответствии с теорией квантовых деформаций групп и алгебр Ли [72] двойственное пространство Нот(8Охе1\Т;У'),С') к алгебре функций, заданнвк на квантовой группе ЗОХ(КТ;з), еств алгебра с умножением, индуцированным коумножени- аиДв 8ОгШ №(«) = (9.114) где Щ е Нат^ЗО^!7; у;), С), а Е ЗОх(иВ-У). Введем формалвно верхне- (+) и нижне- (—) треуголвные матрицы Л(±)(у') следующим образом: недиагоналвный матричный элемент матриц! Л^Ау) умножается на у^1, если соответствующий матричнвш элемент матрицы Т(у) содержит параметр уф. Например, если элемент (Т(у'))12 = + уА12, то (Л-+)(0*))12 = ЛГ^12 + 212 Формалвно матрицы А±)(у) не определены при нилвпотентных значениях параметров уф = ьу, посколвку не определены, но 1—4 представляют собой функционалы над й,,,-. поэтому когда рассматривается действие матрицы функционалов А±)у) на элементы квантовой группы ЗОХ(КТ;з), задаваемое соотношением двойственности , (А^ВЛо^А^В (9.115) где Р-+Чз) = рР2(з)Р, 7?1_1(У) = -йф (У), ри® 110 = ио® и, (9.116) то получаются вполне определенные выражения даже при уф = оу. Элементы матрицы А±)(у’) удовлетворяют коммутационным соотношениям р-^4чз)РчЧз)Р2')чз) = Р2ЧзРЧЧз)р{+ЧзУ т = А В—43р+\з)Р—\з) = р~\з)РЧ&)р+Ч3 (9.117) а также дополнителвным соотношениям (гг,у)-ортогоналвности р{±Чз)сЧз)—±ЧзУ)т = с\зУ ер±Нз-есчз)г1р±Чз) = ес*»-1, Определение 9.5.1. Алгебра зоДАГ;у) = {I, Ь-Чу)}, порождаемая образующими Б-е(з) и единицей I, называется квантовой ортогоналвной алгеброй Кэли-Клейна. Она является алгеброй Хопфа с коумножением А, коединицей е и антиподом З вида да(±)(У) = Ъ-Ч^Р^Чз), -Р{±ЧзУ) = I, Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=