9.5. Квантовые алгебры как двойственные к группам 183 [101, 125]. Структура алгебры Хопфа квантовой алгебры 8<о2(З;ДХ0о2) определяется соотношениями (10.14) раздела 110.3.1. Достаточно определить коумножение, коединицу, антипод и коммутаторь1 только для генераторов алгебры зох(3;д; Х02). На всю универсальную обертывающую алгебру они распространяются по линейности. Изоморфизм 80^(3; Д Х02) и квантовой алгебры -^(Э;2) легко устанавливается с помощью следующих соотношений между генераторами и параметрами деформации: Квантовые аналоги неполупростых групп и алгебр Кэли-Клейна получаются при нильпотентных значениях контракционных параметров. В частности, Д = инД = 1 приводит к квантовой евклидовой группе Еу(Т) и соответствующей алгебре (ср. [125, 205]), а Д = и,Д = 62 дает квантовую галилееву группу Сф(2) и алгебру (ср. [101, 124]). Таким образом, квантовые ортогональные алгебры Кэли-Клейна можно построить как двойственные объекты к соответствующим квантовым группам или с помощью контракций квантовых ортогональных алгебр. При Д = Д = 1 имеем квантовую группу 3Оч(3) и квантовую алгебру 8од(3). Пометим штрихом элементы матрицы образующих квантовой группы 8Оч(3), записанные в виде (11.6), и отвечающие им генераторы квантовой алгебры вод(3). Тогда все формулы для 30х(3',у) и 8ох(3',у) можно получить из соответствующих формул для 30д(3) и 8Од(3) следующим преобразованием образующих и параметра деформации: И11— ДЬ ^П-Д^П. И12 — ДИ21 И12 — Д^^ И13 = ИЮ = ХДХ31 621 = ДН21> 621 Из = 4з> Пз^ДИ^- (9.129) Нетрудно заметить, что преобразование генераторов квантовой алгебры обратно к преобразованию образующих квантовой группы. Если образующие Д/. умножаются на некоторое произведение Д/. контракционных параметров, то генератор Цу умножается на 7— 1 с тем, чтобы действие Д/ДД/г) вытекающее из соотношения двойственности (9.115), было определено при нильпотентных значениях параметров. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=