10.1. Рекурсивный метод для квантовых евклидовых алгебр 185 ства Е(У) , а генератор Хц при г, К = 1..., X, г <к есть инфинитезимальный оператор вращения в двумерной плоскости, натянутой на оси Х{ и хк. Оператор Казимира (центральный элемент второго порядка) имеет вид 1 С(2) = ХШ+У^Х^. (10.2) к=1 Универсальная обертывающая евклидовой алгебры зо(ХТ + 1и) есть классическая алгебра Хопфа с кокоммутативным коумножением, коединицей и антиподом вида ХХ = 1®Х + Х®1, XI = 1®1, е(Х) = 0, 5(Х) = -X, (10.3) где X = Х{к, г <к, г,к = 1, I..., N. Определение 10.1.1. Элемент У алгебры Хопфа называется примитивным, если Д(У) = I ® У + У ® I. Классическая алгебра Хопфа имеет только примитивные элементы. 10.1.2. Квантовые лидлидовы алгебры зог(1Х + 1;<1). Алгебра Евклида зо(ХТ + 1и) содержит N евклидовых подалгебр зо(Х; к, и), которые отвечают евклидовым пространствам размерности X — 1, получающимся из Е(ЛГ) удалением оси хк, где к пробегает значения от 1 до N. Пусть задана евклидова алгебра зо(Х + 1;м) вместе с квантовой алгеброй 8О2(АГщ1). Рассмотрим N — 1 евклидовы подалгебры зог(ХТ; к',ь\), к = 1..., N — 1, и запишем для них копроизведения и деформированные коммутационные соотношения. Тогда 1. Принимаем, что структура алгебры Хопфа для подалгебр зог{Хт; к, и) при К = 1...,N — 1 представляет собой ограничение квантовой структуры алгебры зо2(Х + 1м). 2. В качестве копроизведения и деформированных коммутационных соотношений квантовой алгебры зо2(Х + 1и) выбираем простейшие выражения, согласованные с этими ограничениями. 3. Проверяем самосогласованность полученной квантовой структуры выполнением условия, что коумножение есть гомоморфизм алгебры Хопфа. Последовательное применение алгоритма, начиная с N = 3, приводит к следующему коассоциативному отображению алгебры А (алгебре формальных многочленов по г с коэффициентами из универсальной обертывающей алгебры ХзорХ + 1и)): XX = 1®Х + Х®1, Хе {Хш-Х1к, г,к = 1..., N — 1}, ХХОк = е~-/2х™ ® ХОк + ХОк ® е(х/2)у, К = ^.^ N - 1, ХХкк = е~ух™ ® Хк„ + Хк„ ® е(-2х™- - V уХ8ке-*/22х™ ® ХОе, + 52 ХОе, ®|Х^+ 3=1 3=1 Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=