186 Гл. 10. Квантовые алгебры Кэли-Клейна N-1 N-1 _Хкзе 52 Хйз®е/^х™_Хка, $=&+! (Ю.4) а также к деформированным коммутационным соотношениям = -^((Ход к = 1,...,Х—1, 2 [Хш,Хкх\ = ХисЦгХш) + - I $2ХовТИ^- \в=1 Аг—1 ДГ-1 + Е 5=?-)—1 3=&+1 — Е Хозяек (10.5) где — Х(НХкз Х°кХга + Х0аХ{к (10.6) (~2)Х(ш ®Х0а — при г < к < з, г, к, 8 = ф..., N — 1. Остальные коммутаторы не изменяются и даются формулами (10.1). Следующая теорема доказывается прямыми вычислениями. Теорема 10.1.1. Для любого N > 4 алгебра А, оснащенная ко- умножением (10.4). деформированными коммутационными соотношениями (10.5). коединицей е(Х$к) = ДХцф = 0, (г, к = 1..., Лф и антиподом 8фХ) = _е(--Щ/2Х>мХе-М-Щ/2ХОх = (Ю.7) {—Хок, к = 1..., X, при N = Хоь, Х1т, к Ш — 1 »•••» А С при х — Х1,^ , -Хш - (X - 1)|х0/, 1=\,...,Х -\,приХ = ХМ, есть деформированная алгебра Хопфа (обозначаемая ХзоДХ + 1щ1) или просто зоДХ + 1;сф) универсальной обертывающей алгебры для Х-мерной евклидовой алгебры зо(Х + 1;м)- Замечание 10.1.1. В отличие от случая малой размерности в выражения (10.4) и (10.5), полученные вложением, не требуется добавлять слагаемые, чтобы обеспечить свойства копроизведения, требуемые структурой алгебры Хопфа. Поэтому четырехмерный случай можно рассматривать как краеугольный для полученной ЛГ—мерной деформации. Замечание 10.1.2. Трехиндексные символы Ифе (Ю.6) — это квадратичные операторы Казимира классических трехмерных подалгебр Ли зо(2+ 1; 6ц), которые интерпретируются как операторы Паули-Любань— ского в (2+ 1) алгебре Пуанкаре (отсюда обозначение И7). Замечание 10.1.3. Деформации евклидовых алгебр малых размерностей (X = 2,3) также можно включить в формулировку теоремы 10.1.1. В этом случае суммы вне пределов описанных множеств следует рассматривать как нулевые, так что Иф/.3 в (10.5) вообще не появляются. При таком соглашении теорема 10.1.1 справедлива для любого N ф 2. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=