10.3. Квантовые алгебры. зо2{3®; а) 189 Квантовые алгебры Кэли-Клейна зог(3; д; Х02) получаются из квантовой алг^^б^р^ы 80^(3; Х02) преобразованием структурв1 алгебры Хопфа (10.14) с помощвю подстановки ^01-^М2^О'1, -Х02 —> (О13О2~^Х02, Х12 —: Х 2 > .}2- (10.16) Множители 8 в преобразовании параметра деформации выбирается минимальным образом так, чтобы, во-первых, максимально сохранить квантовую структуру и, во-вторых, чтобы новая квантовая структура была вполне определенной при нильпотентных значениях контракционных параметров. Из анализа выражений (10.14) следует, что множитель 8 зависит от выбора примитивного элемента квантовой алгебры и его минимальное значение равно произведению 8 = уфуф. При этом коумножение, антипод и деформированные коммутационные соотношения будут определены при всех значениях контракционных параметров. В результате получаем Д^0)2 = I ® Х22 + Хо2 ® I, ДХ = е-гХо2/2 ® х + X ® ел;'Ф х = Х01, Х12, г(Х01) = г(М02) = г(Х12) = О, 5(Х02) = -Х 2 5(Х01) = -.0'1 СО88 88111 2 Л72 2 С/ у 1 у —с 1'12'2■2 -2 у 1 • 3 - 3-с Ь(Л12) — —А 12 СОЗ — ----- д2А^0 - -—- 1111 -5—-, 3 ЛУ2 2 [х^х^ЦХ2 [х^х^Иуз01 [х^.Хо1] = |8!й1,гХо2. (10.17) Оператор Казимира (10.15) принимает вид ДЦЦ) = [ ф - ф + — +РхР) 2 (10.18) и в пределе г —> О переходит в оператор Казимира алгебры 8о(3;у). Квантовая группа 8Ох(3®), отвечающая квантовой алгебре 80г(3;у), рассмотрена в разделе 9.3.2. 10.3.2. Квантовые алгебры «оДЗ; У; ст). Коммутационные соотношения алгебры 8о(3) во вращательном базисе настолько симметричны, что они сохраняются при замене любых двух генераторов друг на друга. В этом смысле генераторы эквивалентны. Введение структуры алгебры Хопфа эту эквивалентность нарушает, поскольку в алгебре 80^(3) имеется выделенный примитивный элемент. Контракции Кэли-Клейна также нарушают эквивалентность генераторов, поскольку один из них умножается на уфуФ, а остальные два умножаются на уф или уф. Ясно, что структура алгебры Хопфа и схема контракции Кэли-Клейна в квантовой алгебре Кэли-Клейна 802(3;у) могут Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=