10.3. Квантовые алгебры 80х{3;д; а) 191 10.3.3. Квантовые алгебры зох(3; .у; Х<и). Перестановка а— = — (сто = 0, СГ1 = 2,(72 = 1)1 при которой г —> д®, приводит к квантовой алгебре Кэли-Клейна 8ох(3;Д; Хоф с примитивном генратором Хоь Структура ее алгебры Хопфа имеет вид ДХ01 = I ® Хо1 + Хо1 ® I, ДХ = е~гХо1/2 ® х + X ® е^, X — Хо2, Х12, г(Хо1) = ДХ02) = е(Х12) = 0, Э(Х0ф = -Хоь -5(Х02) = -Х02 С08 - Х12Д 8Ш А Я(Х12) = -Х12 соз — + Х02- 8П1 А [Х^Х^ — Хоз, [Хо^ХД^АкхХоь (10.22) а квантовый аналог оператора Казимира равен СД2;у; ®А') — Д1 [| а11 «ы В + (х12 + ф^Х?^ В ат А 1 (10.23) Квантовая группа бОДЗ; Дстф, отвечающая квантовой алгебре зоДЗ; Д; Хоф, рассмотрена в разделе 11.4.2. 10.3.4. Квантовые алгебры зоДЗ;д; Х12). Наконец, перестановка о-!11) = (1,0,2) в формулах (10.19) дает квантовую алгебру Кэли-Клейна 8ох(Д3;Д; Х12) со структурой ХХ12 = I ® Х12 + Х12 ® I, ДХ — е~гХгз/2 ® х + X ® е**^, X — Хоь Х02, е(Х01) = ДХ02) = г(Х12) = О, 5(Х12) = —Х12, 5(Х01) = -Х01 «08 ВВ - Х02- 8111 А 5(Х02) = -Х02 «08 + Х^С172 1111 [Х^Х^] = Х°2, [Х^ХД =Д22Х0ь [Х^Хог] = Л88КгХ12. (10.24) С помощвю этой же перестановки в (10.20) получаем квантовый оператор Казимира Сх(2;д; стс с ) — д [| аЬ сое — + (дХ + .Х2) А йд А. 2 (10.25) Строго говоря, квантовые алгебры зоДЗДХоф и 8ох(3;Д; ХД изоморфны, тем не менее полезно рассматриватв эти алгебрп отделено, учитывая их кинематическую и геометрическую интерпретацию. Отметим, что квантовые структур! (10.17), (10.22), (10.24), отвечающие различному выбору примитивного элемента, получены Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=