192 Гл. 10. Квантовые алгебры Кэли-Клейна в работе [101] в том числе и для централвных расширений алгебр Кэли-Клейна. Квантовая группа 8Ог(3;Д; <■), отвечающая квантовой алгебре 8<о2(3;у;Х12), рассмотрена в разделе 11.4.1. 10.3.5. Квантовые алгебры Евклида е2(2). При у’1 = = 1 квантовою ортогоналвные контрактируются в квантовою алгебры Евклида. Посколвку коумножение А и коединица е не зависят от контракционных параметров, мы их выписыватв не будем, так же как тривиалвные выражения 8{Х) = —X для антипода. Из формул (10.17), (10.18) для квантовой алгебры Евклида е2(2;Х(2) = «оДЗ; ц; Уф получаем .МУ-2) = -Хи-^Х1, [ХоьХо2] = О, [Хо2,А^12] =у2Хоь 1Х-2.ЛО.,] = 18кгХ°2, Сф2;що-Л)= (|зф) 2 Уу^, (10.26) у которой генератор трансляций Уф является примитивным элементом алгебры Хопфа. Формулы (10.22),(10.23), отвечающие перестановке <т^\ дают квантовую алгебру, изоморфную е2(2;Хо2). Квантовая алгебра Евклида е2(2;Х12) = зо2(3;и; Х12), неизоморфная рассмотренной (10.26), находится из формул (10.24), (10.25) и характеризуется структурой алгебры Хопфа вида 5(Х01) = - *01 СО8 2 - Хо2- 8П1 2 5(Хо2) = -Х02 СОЗ 2 + *0о18111 [У12> Х01] = Х02, [Уо2) Ую] = ф’2Хо1, Х02] = 0 СфгщьЛ1)) = (у^+ХюР 81п2 (10.27) рг 2 Эта алгебра в качестве примитивного элемента имеет генератор вращений на плоскости Евклида. Ее отличителвной особенноствю, по сравнению сег(2;Уо2), являются недеформированные коммутационные соотношения. Таким образом, разные сочетания структуры алгебры Хопфа и контракций Кэли-Клейна приводят к двум неизоморфным квантовым аналогам для неполупростых алгебр Ли, отвечающих группам движений двумерных евклидовых плоскостей. При у2 = г в формулах (10.26),(10.27) получаем квантовые алгебры Пуанкаре р2(2; Ущ) и Рх(2\1Х12}. 10.3.6. Квантовые алгебры Ньютона пД2). Контракция по второму параметру Д = 1, уФ = г2 приводит к квантовым аналогам алгебр Нвютона. Для квантовой алгебры пг(2;Хо2) = 8<оД3щ2;Х02) из формул (10.17), (10.18) получаем 8(Х) = -X, X = Х02, Х12, 5(Х01) = -У- + |.122 Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=