194 Гл. 10. Квантовые алгебры Кэли-Клейна [Хо1Хо2] = [Х02.Х-12] = 0, [Х12,Х01] = Хо2, (10.32) которая оказывается неизоморфной, как алгебра Хопфа квантовой алгебре Дг(2; Х02) (10.31). Наконец, соотношения (10.24), (10.25) приводят к квантовой алгебре Галилея <2(2;Х12) = во2(3; г; Хю) со структурой 5(Х01) = -Х01 - 1Х02, СЦ2; г; аЛ1)) = Х&, [Хц^ИХоз, [Х02.Х-12] = [Х01Х02] = 0. (10.33) Математически квантовые алгебры (10.32) и (10.33) изоморфны, как алгебры Хопфа, и обе неизоморфны алгебре (10.31). Однако квантовые алгебры (10.32) и (10.33) различны, с точки зрения их кинематической интерпретации. Действителвно, примитивный оператор Х0^1 алгебры (10.32) интерпретируется как генератор переноса вдолв оси времени в кинематике Галилея, в то время как примитивный оператор Хю алгебрь1 (10.33) имеет физический смысл генератора галилеевского буста. Посколвку они входят в коумножение в виде ехр(-Хо1) и ехр(|Хю) соответственно, то параметр деформации у этих квантовых алгебр имеет разные физические размерности: [г] = время в случае дг(2; Хо 1) и [г] = скорость в случае ^^Хю). 10.4. Квантовые алгебры Кэли-Клейна 5Ог(4;</;<г) 10.4.1. Квантовые алгебры 8ог(4; Хоз, Хо)— Как мы видели в разделе 10.3 при стандартной схеме контракций Кэли-Клейна разные ее сочетания со структурой алгебры Хопфа возникают за счет выбора разных генераторов алгебры Ли в качестве примитивных элементов. Примитивными элементами алгебр! Ли являются максимальные наборы коммутирующих генераторов. В случае алгебры 562(4) = {Хц., г,к = 0, 12,3} имеется шесть способов выбора двух некоммутирующих генераторов Хц.,Хр> г ф к ф г' ф к' примитивными элементами. Не все отвечающие им квантовые алгебры допускают любые контракции Кэли-Клейна. Однако для пары генераторов -Хоз, Х12, когда параметр деформации при переходе к квантовой алгебре Кэли-Клейна умножается на произведение первых степеней всех контракционных параметров, оказываются допустимыми все контракции схемы Кэли-Клейна. Квантовая алгебра зо2(4; у; Хоз, Хю) получена в работе [102]. Начнем рассмотрение с алгебры 8о2(4; Х0з, Хю), которая имеет следующие коумножение Д, коединицу щ антипод 3 и деформированные коммутационные соотношения: XX = 1®Х + Х ®1, X = Хоз, Хщ, ДХ = А~ ® X + X ® А+ ± (В“ ® У - У ® в+), + при (X, У) = (Х02, Х13), (Х13, Х02), Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=