210 Гл. 11. Квантовые группы 8Ог(ХД;а( предыдущего раздела учитываем при нильпотентных значениях параметров у только главные слагаемые, а остальными слагаемыми пренебрегаем. Соотношения, в которых можно выделить главные члены, называем допустимыми. В противном случае соотношения называются недопустимыми. Например, уравнения а + ь\Ь + ыес = оц + ьД или 1 1 1 = и/д/ являются допустимым и эквивалентны а = а\, е = / соответственно, в то время как уравнения ьф + 12<с = ыД или цЬ + /-2<с = = С1'2(1 представляют собой недопустимые соотношения. Формальные определения 11.1.1 и 11.2.1 становятся действительными определениями контрактированной квантовой группы, если при нильпотентных значениях всех или некоторых параметров у’ описанная конструкция является непротиворечивой, т.е. дает алгебру Хопфа для главных частей всех соотношений, иными словами, если все соотношения предыдущего раздела являются допустимыми. Введем определение. Определение 11.2.2. Объединение (ак,ар( Од (ат,аД двух множителей понимается как произведение всех параметров уф, которые входят по крайней мере в один из множителей, и степень уф в объединении равна его максимальной степени в обоих множителях, например О'о'г) О С'ш'з) = До'Ь'зИмеет место следующее утверждение. Утверждение 11.2.1. Аксиомы алгебры Хопфа (11.20) выполняются при контракциях по всем параметрам у при всех перестановках п а Е 8м, если .] = 1 (оу, Стф'). к=О Доказательство. Покажем непротиворечивость конструкции в наиболее сингулярном случае при нильпотентных значениях всех параметров ). Коединица Ди^Д = 0, г Д к, Ди^^Д = 1, к = не дает ограничений на значения параметров у. В выражении для N копроизведения ХД^Д = ® множитель Дкг = Г=1 = Д^ы<тД^г,'^к)(Дг,&к)~1 равен 1, если а, < аг < ак, равен (со,.,сг,.)2, если 1 < ак < аг, и равен (оу, оу)2, если аг < ак < оя, (в силу симметричности произведения (ощ оу) = (оу, о,) достаточно рассмотреть случай ак < оД, следовательно, все формулы для копроизведения образующих являются допустимыми при всех нильпотентных значениях у. Проанализируем явные выражения для антипода 5'(Б’(<); о-)), которые приведены в приложении Б. Формулы при р = п + 1 — к содержат слагаемые вида Дк, акф~18ДДхрД, к = 1...,п, избежать неопределенности в которых можно за счет выбора множителя Д положив его равным произведению первых степеней всех параметров, входящих хотя бы в один из множителей (оу,оу)_1 при к= \,,..,п. Иными Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=