11.2. ЗОДЗДуа) в декартовых образующих 211 п словами, 8 = |^(ст,ау'). Убедимся, что при данном выборе 8 все А=1 выражения для антипода являются допустимыми. При нилвпотентном 8 имеем зЪ8 = 8, сИУ = 1. Анализ уравнений антипода показывает, что они содержат два типа множителей где К = 1..., п, М = 1,.., Лг, а = ±1. Все эти множители определены при любых нилвпотентных значениях параметров у. Посколвку а = ±1, то без ограничения общности считаем сгу < ау- В случае Арм(а') возможны три расположения ам относителвно арару, а именно: (Г) ар < ом < ау, (И) ом 61 ар < ау, (Иг) ар < ащ 61 ам- При этом в случае (р) Аа-м(1) = (ара)2, Арм(~1) = (аута)2, в случае (гг) Акм(\) = 1, = (ауау)2, в случае (Иг), наоборот, Арм(У) = (с/^, стр')2, Арм(~\) = 1- Множители Врм(а) из-за наличия 8 тем более не содержат неопределенных выражений типа деления на нилвпотентные величины. В частности, в наиболее неблагоприятном случае при ам' < &м < &р < &р' дробв (<Т,р'м)(<Т’р'м’)~1 = (ам,ом>) — (ауау)-, но в 82 содержится множитель (ам,емг)(<щср), что приводит к несингулярному выражению для Врм(^)- Если .7 = 1, то легко получаем Арм(а) = Врм(а) = 1. В силу произвольности выбора индексов р и М, множители Арм(а) и Врм(<г) определены при любых значениях индексов. □ Помимо структуры алгебры Хопфа, квантовая группа Кэли-Клейна 8Ор(И;д; а) содержит дополнительные условия (г, у)-ортогональности (11.19). Справедливо следующее утверждение. Утверждение 11.2.2. Соотношения (г,]--ортогональности (11.19) определены при ронтрарциях по всем параметрам у при всех пере- п становрах а Е 8у, если 8 = (ар, ащ). р=1 Доразательство. Явный вид условий (г,у)-ортогональности приведен в приложении В. Уравнения (В.5), а также (В.1) и (В.2) при р = р, очевидно, являются допустимыми. Уравнения (В.З), (В.4) при р = п + 1 — р после деления обеих частей на (ащащ) содержат слагаемые с коэффициентами Сщмры которые, как выяснено ранее, равны 1, если ар < ам < <у, и равны произведению квадратов параметров у в противном случае, т.е. уравнения допустимы. Остальные уравнения (г, у')-ортогональности содержат слагаемые с коэффициентами . (ар, ам)(ам, ар) г. т(алр,ар)(ар,ар') Акрм — ----------------- т------, Ш-МГ- — д----- --------- т-----, \ак,с^р) (ар,ар) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=