214 Гл. 11. Квантовые группы ЗО^кЩ-т) Из теоремы вытекает следующий алгоритм построения неизоморфных контрактированных квантовых групп. Определение 11.3.1. Два распределения нилвпотентных контракционных параметров среди элементов матриц Д(Дс^1) и П^Доу) называем эквивалентными, если они связаны следующими двумя операциями: 1) они переходят друг в друга перестановкой одних и тех же строк и столбцов этих матриц, т.е. преобразованием (11.21); 2) матрицу переходят друг в друга при отражении относителвно второй диагонали с возможной одновременной заменой контракционных параметров Д на Дм-к, к= 1... ,АГ - 1. Неизоморфные контрактированные квантовые группы отвечают, во-первых, матрицам образующих с неэквивалентными распределениями нилвпотентных параметров среди ьь элементов, а во-вторых, эквивалентным матрицам образующих, но с разными преобразованиями деформационного параметра (Д Д Д). Для иллюстрации алгоритма подробно рассмотрим все неэквивалентные контракции квантовых групп ДОДЛфДо-) при И = 3,4,5. 11.4. Квантовые группы 8О,(3;Д; сг) Квантовая группа 30д(3) при контракции по одному параметру имеет две неизоморфные квантовые группы Евклида: В°(2) = Ж(3;,1,Д;<7о), Д = и и ад = 502(3; и, 1;а), Д = 1, где (То = (1,2,3), а = (2,1,3). При контракции по двум параметрам получаем две неизоморфные квантовые группы Галилея: СД(2) = Д = П12 и С^Д) = 502(3; а), Д = г2. Таким образом, всего имеется четыре неизоморфные контрактированные квантовые группы (аналитические продолжения не учитываются). Для сравнения, недеформированная группа вращений 80(3) имеет в рамках схемы Кэли-Клейна толвко две неизоморфные контрактированные группы: Евклида Д^(!2) и Галилея б?(2). Квантовые группы при тождественной перестановке оу описаны в разделе 9.3.2, а отвечающие им квантовые алгебры 8<о2(3;ДХо2) — в разделе 10.3.1, поэтому здесв мы рассмотрим квантовые группы, у которых сочетание некоммутативной деформации и схемы контракции Кэли-Клейна описываются с помощвю перестановок <з = (2, 13) и оу- = (1,3, 2). 11.4.1. Квантовые группы 8Ох(3;д; ст). Параметр деформации преобразуется домножением на Д = (оьоу) = (2,3) = Д. Коммутаторы, соотношения (г,Д-ортогоналвности и антипод получаются из выражений для квантовой группы 30х(3) заменой индекса 1 на 2 и наоборот и последующим восстановлением контракционных параметров д' по стандартным правилам. В частности, матрица генераторов имеет вид / «22 ДМЦ Д((Дт) = К Диц «и \ дгизг ЛРИЛп 2 2^23 \ Д1ф2«^13 I изз / (11.23) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=