11.4. Квантовые группы. 30<(3;у,а) 217 Для квантовой группы Галилея С?2(2) = 8Ох{3>; 11,1-2', &), ■ = 1-2 из (г, ^-ортогональности имеем иц = Н22 = изз = 1 и матрицу образующих вида 17 1 1-1 «21 12 «23 )1 / •1 12 \ — 111412 1 1-1--И13 - • 1-11-2 ) , (11.36) К -1-2423 МГ2«31 1 7 • / где И31 = —И13 — «21«гз + г|«21. Коммутаторы независимых образующих равны [«21«^1з] = 0, [«23,«1з] = -ггщз, [«21,«2з] = ггиы, (11.37) антипод записывается как 8{и21) = —ны, 8Н23) = —П23, 8{и1з) = —Н13 — 421423, (1 1.38) а коумножение имеет вид Д«21 = 1 ® «21 + «21 ® 1, Д«23 = 1 ® «23 + «23 ® 1, Д«13 = 1 ® «13 + «13 ® 1 + «21 ® «23* (11 -39) При другом выборе независимых образующих {«12, «31, «32} имеем «13 = —«31 — «12«32 — 12«12- Соотношения (11.37)—(11.39) выглядят так: коммутаторы [«12, «32] = о, [«32, «12] = 1«112, [«32, «31] = «1«31, (11.40) коумножение Д«12 = 1 ® «12 + «12 ® 1, Д«32 = 1 ® «32 + «32 ® 1, Д«Э1 = 1 ® «31 + «31 ® 1 — «32 ® «12 (11-41) и антипод Д(«12) = —«12, 1(«зО = —«31 — «32«12, 8{из2) = —«32- (11.42) Отметим, что как алгебра Хопфа С2(2) неизоморфна квантовой группе СПС!). Хотя распределение нильпотентных параметров в матрицах (11.36) и (9.89) эквивалентно, параметры деформации преобразуются по-разному: 7 = 12 и 8 = 111-2. Поэтому коммутационные соотношения (9.90), (11.37), антипод (9.92) и коединица переходят друг в друга при замене «13 на «23 и наоборот, но в копроизведении (9.91) Д(«1з) не переходит в Д(«2з). 11.4.2. Квантовые группы 8ОХ(3; У; &1). Покажем, что перестановка оу = (1,3,2) не приводит к неизоморфным квантовым группам. Параметр деформации преобразуется домно- жением на 7 = (о'цо'з) = (1,2) = д. Коммутаторы, соотношения (г, 1)-ортогональности и антипод получаются из соответствующих выражений квантовой группы 8Ох{3) = 8Ох{3; 1,1;оо) заменой индекса 2 на 3 и наоборот и последующим восстановлением Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=