12.1. Квантовые группы. З3д{М) и ЗГд{У) 225 где 1ц — квантовые миноры ^1<Т| • • • 1<7,_1^«+1<7,-|-1 -25ЦСТ-1) и а = (с >1-.>,’1—1>,1+1...> тде) = а(1,...,д - 1,д + 1...,ЛГ), При этом Т8(Т) = 8(Т)Т = I и 82'(Т) = КТК-, где К = дшаг(1 .д2,... Если положите в общем определении 9.1.4 квантового векторного пространства В = Вд, а многочлен выбрать в виде /(1) = I — д, то придем к определению. Определение 12.1.2. Алгебра функций с образующими х1,...,хы, удовлетворяющими коммутационным соотношениям Х{Хд = ух<х,, 1 ф г < р ф X, (12.5) называется комплексным квантовым ЛТ-мерным векторным пространством и обозначается С1. Векторное пространство вложено в квантовую группу А'ДЦЛ7) формулой х ью Те, где е< = 6ц, г = 1,...,У, т.е. как первый столбец матрицы генераторов ж, нОпределение 12.1.3. Алгебра с образующими хц...,хм у1,...у^ы и коммутационными соотношениями хуХу = схузхц угууд = <~-ууУц 1 2г<з < У, В*Р{у ® х) = ух ®у (12.6) называется комплексным квантовым векторным пространством С^_1. Для матриц, действующих в тензорном произведении С с ® верхний индекс [ означает транспонирование по второму сомножителю. Квантовая группа 83х{У) действует в алгебре СЦ—! по формулам 6{х) = Т®х, 6(уу) = 8(ТУ&у. Центр алгебры порождается единицей и элементом у*х = у\х\ + ... + уых<. Алгебра С|1__ вложена в квантовую группу 5'Дд(ТГ) формулами х н- Те, у н- 8(Т*е, где верхний индекс * означает транспонирование. Определение 12.1.4. Дактор-алгебра алгебры С;Ц_ по соотношению у*х = 1 называется алгеброй функций на однородном пространстве ЗВ^У^ЗВ^У - 1). Вещественные формы квантовой группы ^Дд^Х) выделяются при помощи *-антеенволюцее алгебры Хопфа. В зависимости от вида параметра деформации д Е С имеется два типа вещественных форм 83х(Уу. I. При |д| = 1. _ В этом случае Вд = Вд-\ = В.-1, где черта обозначает комплексное сопряжение, и вещественная квантовая группа 83х(У,)) выделяется *-антеенволюцеей Т* = Т, т.е. 1ц = 1ц, г,д = 1,...,У‘ Алгебра С1, снабженная антиинволюцией х? = хц г= 1,...,У, называется кван8 Громов 1. А. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=