12.4. Квантовые группы 8Ъд(1з',З) и 229 Образующие пространства С®?_! удовлетворяют коммутационном соотношениям ’ Х\Х2 = дх2х\, Ж1Ж3 = дЖ3Ж1, х2хз = дхзх2, Х\У\ = У1Х1 + - Я2)(у2х2 + У3Х3), Х2у2 = у2х2 + (1 - Я^УзХз, Хзуз = УзХз, Х\У2 = Ду2Х1, ху = ДузХ1, х2у\ = Ду\Х2, Х2уз = Дузх2, ХзУ1 = ууХз хзу2 = ду^У. У1У2 = д~1У2У1, у\уз = д~1узУ1, У2Уз = <~~узУ2- (12.21) При действии квантовой группы ЗЬд(з) сохраняется билинейная форма у*х = у\Х\ +у2х2 + узхз = 1. (12.22) Квантовое эрмитово пространство = {хк, х*к, к = 1,2,3} получается из С®9_ заданием антиинволюции у\ = х*, у2 = х%, уз = х—. Коммутационные соотношения его образующих хк,хк легко находятся из (12.21). Действие 6(хк) = Т——^=\к^т ® хт, к= 12,3 квантовой унитарной группы з1—((з) на пространстве И в соответствии с (12.14) сохраняет эрмитову квадратичную форму х**х = х*х\ + х—х2 + х—хз = 1. 12.4. Квантовые группы и йЦДАГ;,') Зададим схему контракций Кэли-Клейна симметричным распределением контракционных параметров среди образующих квантовой группы ЗЬд(1Т') Т^ТЦ), ик-Н,,)^, г,к=1,...,И. (12.23) Определение 12.4.1. Квантовая группа, получающаяся преобразованием (12.23) из ЗБЧ(-Т), называется квантовой группой Кэли-Клейна 8Ьд(К-,3). Ее образующие Т(у), ЗеЪдТД)) = 1 удовлетворяют коммутационным соотношениям ШЖ) = ТШЖЖЖ- (12.24) где 71(ф) = Т(ф) ® I, Т2(у) = I® Т(З), а матрица Кд дается (12.1). Квантовая группа бЬ^Л^у) является алгеброй Хопфа с коединицей е(Т(у)) = I, копроизведением ДТ(у) = Т(у)®1^(у) и антиподом 8(Т1(д}) = Т~1(д'), которые в компонентах выглядят следующим образом: е—к) = 8гк, N N + Е т=1 т^гт—кк г N —кк = к™ ® -пк + Е ОгтЖйп ® г = шах^ к}, т=1 т=+11 (12.25) &%1к1к — %кт 0 —тк — %кк 0 %кк (к,т'у1к т Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=