12.5. Контракция квантовой группы. ЗЦ~д{2;Д1) 231 Вещественные формы квантовой группы ,9Ад(Лг;1/) выделяются обычным способом. При |д| = 1 антиинволюции 1*^ = и [ = Х{ вместе с преобразованиями (12.23),(12.27) определяют вещественную квантовую группу Кэие_Ки®йна 5'Дг(Лг;ДК) и квантовое вещественное пространство Кэие_Ки®йна КА (у) с действием 5(ж(у)) = Т(д)®хх(]) (12.30). При § е 1 и антиинволюции Т{д)Т**{д) = Т**{Д')Т{д) = I или 2*гк = получаем квантовую унитарную группу Кэли-Клейна З3Ч{И\]). Алгебра СЦ-О), снабженная антиинволюцией [ = ащ называется квантовым эрмитовым пространством Кэли-Клейна Ц^(у'). Действие квантовой группы 8ЦЧ{№,д) на Ц^(у') сохраняет эрмитову квадратичную форму х**х{д) = х*Х1 + (1 2')‘2х<Х2 + ••• + (1, а)2х<хм. Тем самым фактор-алгебра алгебры по соотношению х**х{д) = 1 является квантовой (2ЛГ — 1)-мерной унитарной сферой Кэли-Клейна и обозначается 8С^(у). 12.5. Контракция квантовой унитарной группы Конкретные формулы для групп ,9Ад(2;Д), 5Дд(2;Д) можно получите из соответствующих формул для групп 8ЬЧ{2), 8Цч{2) заменой в последних 1\2 —) ДД12, 121 —) ДПгь В результате получаем матрицу образующих ГО') = (Х х’ ) (12 ■ 32) с коммутационными соотношениями Д1112 = 3112^11, П1Д1 =211111, 112121= 221112, 112122 = 1222112, 121122 = 2222121, 111122 — 1211 = ДМХ2И1 (12.33) и квантовым детерминантом й®ДТ(Д) = ИД^22 — Д(Д2111 = 1Структура алгебры Хопфа задается коединицей еДп) = еДи) = = 1, 1(112) = 1(11) = 0, копроизведением А(Д1) = Д1 <8>1ц + д2112 ® 121, А‘(12г) = %22 ® %22 + Д11 ® 112, А(Иг) = Д1 ® Иг + Иг ® Иг, А(11) = И1 ® И1 + Иг ® 11 (12.34) и антиподом дад)) = Ц-21 Л'41). (из.35) Формулы для векторных пространств получаются заменой Х2 —> —> 21х2, У2 —> 31У2- Квантовое векторное пространство С2(Д) = = {х[, Х2\ Х1Х2 = 4X2X1} вложено в матрицу (12.32) как первый столКоми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=