232 Гл. 12. Квантовые унитарные группы Кэли-Клейна бец. Квантовое пространство С ,(Д) порождается образующими Х[, хч, ух, уч с коммутационными соотношениями ххч = дх2Х[, ухУч = <~1УЧУ1, Х2уч = УчХч, хуч = яучхх, хчУх = дуХч, Х1У1 = у\Х\ +^(1 -Ч2уучхч, (12.36) где образующие у влс1ж^'лгг1 в матрицу (12.35) как первая строка. При действии квантовой группы ('.Ьд(2;Д) на С^ДД) Дж) = Й1 ®Х\ +У\Ъ\2 ®Ху, 8(ху) = 122 ®Хч + 121 ®Х\, 1(У1) = 8(1 11) ® У1 + зХХ) ®У2 = *22®У1 - ® У2, 5(,уч) = 3(122) ®У2 + 8{112) ®У\ = 1ц®У2- д_'Й2 ® У\ (12.37) сохраняется билинейная форма уХХ = у\хх + Йууху = 1221ц -Лд_1и2121 = 1 (12.38) При д € И. вещественная форма ^Ид'2; Д) еств квантовая унитарная группа 5'Дд(2;Д), удовлетворяющая соотношениям !*к = 8(1ы)'. ПЯ = I %22 \ -^Ф1д-1И2 (12.39) Квантовое 2-мерное эрмитово пространство Ы^Д) = получается из С 1(Д) заданием антиинволюции ух = х*, уч = х%. Коммутационные соотношения образующих квантового эрмитова пространства ИГд(Д) легко находятся подстановкой ух = х*,уч = х% в (12.36). Действие квантовой унитарной группы З'ДдфД) на И^'Д) = 1Ц °Хх + З^Х^Ху, 8(Х2} = 122 ®ж2 + 121 ®хх, ДаД = 1*х ® х* + $1*2 ® х2 = ® х* - ,Уо'у ® х2, ЗХ) = 122 ® х2 + 221 ® X* = 1хх ® х2 — Я~~1х2 ® X* (12.40) сохраняет эрмитову квадратичную форму х**х(Х) = х*хх + Зх^хч. При у’ = г получаем формулы для квантовой псевдоунитарной группе! 577^(1,1). При у’ = ьх имеем квантовую контрактированную группу 5'Дд(2щ1). Рассмотрим вв подробнее. Посколвку (ШдТ'и) = Д1Д>2 = 1, то 122 = 111 1 а на образующие И2Д^2^1 никаких ограничений не накладывается. Учитывая, что 1*2 = —дДь матрицу образующих запишем в виде и112 А ■ ) С П1 \ -ид Д., и112 А 2Г1‘ )' (12.41) Коммутаторы образующих квантового векторного пространства совпадают с коммутаторами образующих С2, а для квантового пространства С^ДД коммутационные соотношения образующих даются Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=