12.6. Контракции квантовой группы 3ЦдЬ3'31,/) 235 (12.51) (12.52) (12.53) Образующие уу квантового пространства С® (Кг) вложени в матрицу (12.49) как первая строка и удовлетворяют коммутационным соотношениям (12.21) за исключением двух коммутаторов: хУ1 =у\х\ + (((1 - Ч1'}Ьу2Чх2+ ЙУзХз), Х2У2 = У2Х2 +З21 - Ч2)УзХзПри действии квантовой группы 3ЬЧ(3’,31,//) на С®д-1(31,/) <(®1) =Й11 ®Ж1 1.7Г'^Ы2 ® Ж2 + 2?22^1з о ®3, <(^2) = .21 О х\ + 122 ®х2+ (З&З ® Хз, 3(хз) = 23\ ® XI + 232 ®Х2 + 1зз ® Хз, <%/1) = .(й11) ®У1 +25'’(.11) ® У2 + Л225'(.31) ®Уз, 5(уз) = 8(112) ®у+ 5(222) О У2 +228Ь11^з^2') ® Уз, 5(уз) = 8(11з) О У\ + ЗЬ&з) ® У2 + 8(1зз) ® уз сохраняется билинейная форма У^Оь/г) = У\Х\ + 32У2Хх + зЫузХзПри д € К вещественная форма 32д(3;311 //) еств квантовая унитарная группа Кэли-Клейна 312д(3;31132)1 образующие которой удовлетворяют соотношениям 1*к = 3(2ы)>у,К = 12,3. Квантовое эрмитово пространство Кэли-Клейна Ид/ь/г) = {хрхк,к = 12,3} получается из С® д_1 (31132) заданием антиинволюции у\ = х*,у2 = х3,уз = = Жд Коммутационные соотношения его образующих хрх^К = 12,3 легко находятся из (12.21) и (12.51). /ействие квантовой группы 31^(33132) на пространстве ^(ЗЗз) получается из (12.52) заменой уу —> х^ К = 12,3, имеет, в частности, вид 5(а1/) = (/2/з - Зг^Ы) ® х* + Л°7’2 92(23(31 - $2 1 /з) ® х%+ +з21322Я2221332 - Ч3122131) ® Х( 6(х2) = - д_12122зз) ® X* + ^ХзЗ - ФЫ^З.зО ® х*3 + (■Хх 2 - д2\1/32) ® Х*3, 6(Хз) = (ьТЗцЗз - д~ + з122) ® X* + (3/213/л - )< 41 ® Х*з + + (.11.22 - ф2дИ2(21) ® ЖЗ (12.54) и сохраняет эрмитову квадратичную форму Х**х^(ъ31132) = х*х\ +32х2х2+3232х3хз- (12.55) При вещественных и мнимых значениях параметров 31З2 = 1/ имеем квантовые псевдоунитарные группы 5'/д(1,2) и 5^(2, 1) с сигнатурой (4------- ) для 1 2 = 1 с сигнатурой (+ + -) для // = 1 // = г и с сигнатурой (-|----- 1) для / = / = г. При нилвпотентных значениях параметров /1,/2 получаем контрактированные квантовые унитарные группы. Рассмотрим эти случаи по отделвности. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=