238 Гл. 12. Квантовые унитарные группы Кэли-Клейна Инволюция Т*(Д,з) = 3(ТУ)1,17))* иегко находится с помощью (12.66): #11 = #22#33> #22 = #11^33, #'3 = <33 > #*2 = — 9#21#33> #21 = —'^Щ#33. 1*3 = Ч2<71<37 — С?3#22#31 > #31 = Ч~2з12223 ~ З_'#13#22> #23 = .^#^#31 ~ 9#1 1 #32. #32 = 7?#^13#21 — «_1#11#23- (12.67) Квантовое пространство С®(Д,Т2) имеет такие же коммутационые соотношения образующих, как и С®. Образующие квантового пространства С® д_1(^'ь 1-2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (12.21) за исключением двух коммутаторов [®ь,ш] = Л(1 -Ч2)У2Х2, =0. (12.68) Пространство С® д_1(Д, 1-2) представляет собой квантовый аналог расслоенного пространства с базой {х\, х%, у\, уз} и слоем {аж2/з}. Действие квантовой группы ЗЬЧ{3>',31,12) на С®д_,(Д, 1ь) описывается формулами С(Ж1) = П1 ® х\ + у2112 ® Х2, 8(Х2) = ^21 ® х\ +122 ® Х2, <((Жз) = #31 ® Ж1 + #32 ®Х2 + #зз ® Хз, 8{У1) = 322-3з®У\ - з2да2<33®У2, 8{У2) = -Ч—112ззЗ®У\ + 3113зз®У^2, 8{Уз) = (д_2#12#23 _ д_1#Ь^#^22) ® У1 + +С?##1з#21 _ д_1#ы#23) ® У2 + #Гз ®Уз (12.69) и сохраняет билинейную форму зДг(.Д> 12) = У\Х\ + 3222Х^2’- Вторая форма туг = У3Х3 инвариантна относительно действия в слое {23,3/3}, т.е. когда 1зз [ 0, а остальные образующие [ а = 0. При вещественном д € И. образующие контрактированной квантовой унитарной группы ЗЦд{3;з1,12) удовлетворяют соотношениям (12.67). Расслоенное квантовое эрмитово пространство ЦД(Дщг) = {ху, х*к, К = 1,2, 3} с базой {х1,Х2, х*, х%} и слоем {аж 2:3} получается из С®д_1(Д132) заданием антиинволюции у\ = х*, у2 = х%, уз = х<. Коммутационные соотношения его образующих ху,ху, К = 12,3 без труда находятся из (12.21) и (12.68). Действие квантовой группы 3йГЗ',3,12) на пространстве Ы((Дж2) получается из (12.69) подстановкой ук —> ху, К = 1,2, 3. Вырожденная эрмитова квадратичная форма распадается на две формы: одна аД^аДД, 3) = х*х\ +31х2х2 инвариантна относительно общего действия группы 3^1ТЧ{3; 31,12), а другая 1пх2 = х<хз инвариантна относительно действия в слое {2г3,2?з}. 12.6.3. Двумерная контракция Д = 1,1,32 = <_2- Квантовый детерминант (12.45) матрицы образующих имеет особенно простой вид: йеДТДь /Д = #ц#22#33 = 1- (12.70) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=