242 Гл. 12. Квантовые унитарные группы Кэли-Клейна Как и в разделе 9.5, определим квантовую алгебру ^^^,(2; 7), двойственную к квантовой группе 5'Уг,(2;у), соотношениями (9.115) = ) ± ) О). (12.86) где Р(±)(7) имеют вид Ю 0 ) ( г" о —еЗ2Уй 1 ) -е<з-’’12гг’(у1_М4 |— гД{и)) I Ь(+)0) = ( о Ю ) = ( о ’?’Г1“1+°2’1“2 ) (12.87) и действуют на полиномв1 первого порядка от образующих квантовой группы 5'14,(2;7). Матрицы В^{у) выражаются через Л-матрицу (12.81) формулами /г(/) = х->12^лЮ)> = 1, д(-)(Д = Я-Ю’), /?(+)СД = РД//Р, Р(а®Ь) = Ь®а. (12.88) Матрицв1 (12.87) могут бвшв получены из (12.85) следующим (контракционным) преобразованием параметра деформации и образующих: ? = 7'1721?, М1=41/у'1, и2 = и2/Д2, Н = НЦ\)2, (12.89) где I = еткр(гН/2), I = ехр(уН22.). В явном виде действие (12.86) задается формулами 1(ЬЬ = О = и(Ь~) = = и{а) = и(а) = О), 1(а) = х, 1Ьа) = х~, иЬЬ) = —хХ, йЬЬ) = х~Х, (12.90) где х = е’^/2, А = 2 аК/д/го Соотношения (12.90) преобразуются к виду Ы«1) = ик(а2) = 0, Ю1) = «Шх Юг) = -«-*- зЬдшк. 2 7172 2 »,(Ю = -уЮЩщдЩ. „((,,) = ,Л» 7172 2 7172 2 и^Ьк) = -нЮш 8к7172|^> 4=1,2- (12.91) Замечание 12.7.1. Формулы (12.91) при 71 = Д2 = 1 описвшают квантовую алгебру зи//2). Замечание 12.7.2. На первый взгляд, недиагоналвные элементы матриц Р(±)(7) (12.87) не определены при нилвпотентных значениях контракционных параметров /, посколвку деление вещественнвш или комплексных чисел на нилвпотентные единицы ск не определено. Однако матрицы ТЮ//) представляют собой линейные функционалы от нилвпотентных переменных дкЬк, поэтому резулвтат их действия на образующие квантовой группы 5'74,(2;д') — это хорошо определенные выражения (12.91). Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=