1.2. Ортогональные группы и алгебры Кэли-Клейна 23 в дальнейшем под пространством Кэли-Клейна будем понимать как 8фУф, так и В-2(О1), а под группами их движений — как б? 1 0'1), так и 50(2; уф. Такому же правилу будем следовать и в случае пространств высшей размерности. Простейшие группы 50(2;уф, Сф(Уф рассмотрены подробно, так как в этом случае основные идеи метода переходов проявляются в наиболее ясном виде. Эти идеи таковы: а) определяем преобразование типа (1.16) от евклидова пространства к произвольному пространству Кэли-Клейна; б) находим законы преобразования движений, генераторов и т.д.; в) получаем движения, генераторы и т.п. группы Кэли-Клейна из соответствующих величин классической группы. Простой метод переходов позволяет описать все группы Кэли-Клейна данной размерности исходя из классической группы той же размерности. 1.2.2. Девять групп Кэли-Клейна. Отображение ф : В -ю Вз(У) фх1 = Хо -фх**=1Х\, фх*2= О22Х2, (1-25) где ) = (Уы)’г), У1 = 1, Ц, 1, уФ = 1,62,б переводит трехмерное пространство в пространства Вз(У), на сферах (или связных тах сфер) 82(7) = {жо + ЛЫ+Ц®! = 1} евклидово компонен- (1.26) которых реализуются девять геометрий плоскостей Кэли-Клейна. Связь геометрий и значений параметров у ясна из рис. 1.2. Угол поворота уу.3 в координатной плоскости {жг,®з}, г < з, г, 8 = 0,1,2, определяется отношением Ха/хг и преобразуется при отображении (1.25) как замена у* —> уу.3(г, в), где обозначено тах«,Л) (б*) = П Л, (М = 1- (1-27) /=тт.Ц)) + 1 Поэтому для однопараметрических вращений в плоскости пространства Вз(У) получаем (О, г)х'г = Жг(0, г) С08 (<угз(г, 5)) — Жз(0, 8) 8111 (у?гз(г, в)) , (О, 8)ж' = Жг(0, г) 8П1(угз(г, 8)) + Жз(0, 8) СО8(угз(г, в)), (1-28) а остальные координаты не меняются: х'р = Хр, р р г, з. Матричные генераторы вращений (1.28) легко находятся и имеют вид (1.29) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=