15.2. Квантовые пространства О®(у;<т) 281 Относительно действия квантовой группы 5(0г,(5;у'ст) на квантовом векторном пространстве О^(у'<г) инвариантна форма МО) = ^1<^1,-Т1)2 + Л5(1 м)2+ \ сЬ72 + (й '1о'2)2 -Л'1. ш)2)с11л] сИЛу. (15.2) Квантовая ортогональная сфера Кэли-Клейна 8Лу;с) получается факторизацией алгебры О5(у; <?) по соотношению шу(у) = 1. Образующие Ф<Г1 — ^Щт .-Т;. фт2 Сг4 = > ф<Г5 — -г1Щ<Г2<Г*> Стз — тИ.Цт . <4;, 1 — (Г;,, — 1 (15.3) квантовой ортогональной сферы 8>Лу, с), составляющие вектор сЧг^') = ((1,01)<)<тI, (1><22^)сс^2> пропорциональны элементам первого столбца матрицы У(]',сг'). Они, как это вытекает из соотношений (ц,у)-ортогональности для матрицы Цфу, ст), подчиняются дополнительному соотношению С‘(’;л)й(у)ф’;-) =1 О5-4) и, следовательно, принадлежат З^уУст). Квантовые аналоги внутренних (бельтрамиевых) координат на сфере задаются набором независимых образующих 7 =!,•••, 5, г^к. (15.5) Систематическое изучение контрактированных квантовых векторных пространств и квантовых ортогональных сфер при разных перестановках ст дает квантовые аналоги (1 +3) кинематик. Легко заметить, что коммутационные соотношения инвариантны относительно замены ст1 на с^.п, <2 на оц и наоборот, поэтому достаточно рассмотреть только 30 перестановок вместо 5!= 120. Анализ указанных случаев показывает, что при уф = у4 = 1, т.е. для релятивистских и нерелятивистских кинематик, только 7 из 30 перестановок приводят к неизоморфным квантовым кинематикам. Множитель (14.7) равен Л = у’1У2 для тождественной перестановки с70 = (1,2, 3,4, 5) и 7 = у’1 для перестановки сс' = (14,3,5,2). Оба множителя составлены из произведений первых степеней контракционных параметров и в этом смысле являются минимальными. Имеются три множителя (14.7), а именно Л = уЛу2>, .} = у’Л и — = ф’2Л> которые содержат вторые степени контракционных параметров. В первых двух случаях разные перестановки приводят к изоморфным кинематикам, так что можно рассматривать в каждом случае только одну перестановку, скажем, 07 = (2,1,3,4,5) при Л = у’^уУ и а = (13,2,4,5) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=