1.2. Ортогональные группы и алгебры Кэли-Клейна 25 алгебры Ли зо(3) равны [НкР^К*, [Р*,К*]=Н*, [Н*,К*] = -Р*. (1.32) Генераторы алгебры зо(3) преобразуются по закону Н = Д\Н",Р = = К = Д2К*, т.е. И'* = Д~1Н, Р* = Дф'д1Р, К* = К. Подставив эти выражения в (1.32) и избавившисв от неопределенных выражений, умножая коммутатор на коэффициент, равный знаменателю в левой части равенства, т. е. первый на у’С > второй на уфТтретий на уфуф, получим коммутаторы алгебры Ли группы 30(3;Д'): [Н,Р]=Д21К, [Р,К]=Д%Н, [Н,К] = -Р. (1.33) Пространства Кэли-Клейна 8г(ф) (или пространства постоянной кривизны) при уф = 1 , с 1, С, Д2 = Ь2,г могут моделироватв двумерные кинематики, т.е. геометрии пространства-времени. При этом внутренняя координата 1 = Х\/хо интерпретируется как временная осв, а внутренняя координата г = х^/хп интерпретируется как пространственная осв. Тогда И еств генератор переноса вдолв оси времени, Р — генератор пространственного переноса, К — генератор преобразования Галилея при Дч = гг или преобразования Лоренца при Д2 = г. Требование, чтобы конечные формулы не содержали деления на нилвпотентные единицы, подсказывает способ нахождения закона преобразования алгебраических конструкций. Пуств алгебраическая величина (* = (ф*(А*,..., А*к) выражается через величины А*,...,Ак, закон преобразования которых при отображении -ф известен, например: А[ = ЛМ* ... Ау = ЗуА^ где -3,... с 1 представляют собой некоторые произведения параметров Д. Подставляя А* = Лф1 А,.. Ак = Зф1Ак в формулу для (ф*, получаем формулу <*(Л_1а1> ... .■ФАф). содержащую, вообще говоря, неопределенные выражения, когда параметр)! Д равны нилвпотентным единицам. Поэтому последнюю формулу нужно умножитв на такой минималвный коэффициент Л, чтобы конечная формула не содержала неопределенных выражений: = ^((Ла,..^^. (1.34) Тогда (1.34) представляет собой закон преобразования величины ф при отображении ф Этот прием, непосредственно вытекающий из определения равенства элементов алгебры Пименова Рп(г) , оказывается весвма полезным и будет широко исполвзоватвся в далвнейшем. Закон преобразования (1.34) алгебраической величины (ф, установленный из условия отсутствия неопределенных выражений при нилвпотентных значениях параметров Д, автоматически выполняется при мнимых значениях этих параметров. Проиллюстрируем его на примере оператора Казимира. Единственный оператор Казимира алгебры зо(3) равен С2(Н*, ,..) = Н*2 + Р*2 + К*2. (1.35) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=