26 Гл. 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна Подставив Н* = д- 1Н, Р* = 1д2 1Р, К* = д2 1К в (1.35), получим с2* от1 я...) = у г2я2 + ь2322р2 + У2“2 л ■ (1-36) Наиболее сингулярной коэффициент, когда Д = /1 и Д = /<2, еств коэффициент (Д1Д)-2 при слагаемом Р2. Домножив обе части уравнения (1.36) на (Д1Д)2, мы избавимся от неопределенных выражений, а также найдем закон преобразования и вид операторов Казимира алгебры 8о(3;ф): С2(У; Я ...) = У?У22 Я* ОТ1#....) = д '' + Р2 + К (1.37) Как хорошо известно, оператор Казимира двумерной алгебры Галилея 8о(3; 11,1.2) равен СфДЩг) = Р2 (см., например, [179]), алгебры Пуанкаре 8<э(3;гьг) равен С(ь\, г) = Р2 — Я, алгебры $о(3;г; 1) = зо(2,1) равен С2(г, 1) = Я + Р2 — Я (см. [195]). Все эти операторы Казимира получаются из формулы (1.37) при соответствующих значениях параметров Д Матричные генераторы (1.29) образуют базис фундаменталвного представления алгебры Ли во(3;Д группы 80(3;у). Общему элементу / О -Дп -ДцЯ \ У(г; у) = пУо1 + г2Уо2 + тУл2 =1 Дп О -Дп I (1.38) V 3132Г2 Дп 0 / 8о(3;у) с помощвю экспоненциалвного отображения сопоставляется конечное вращение д(г;з) = ехрУ(г;Д вида р(г;Д = Ясо8(г) + У(г;Д —— + У'(г,Д1 — СОЗ г 2 ’ Р (•2 2 • -2 32з ~3\32>2з -302г2Гз д2(г2 3132Г1ГЗ ~3232'Г\Г2 т 2 3\32Г-Гз \ -3\32Г\Г2 , Йг2 / = ^хГ22^3232^2^32^-^ (1.39) действующее на вектор (жо31X1,3132X2)* & Нз(Д с именованными компонентами. Недостатком параметризации (1.38), (1.39) является сложности закона композиции параметров г при групповом умножении. В работе [81] предложена параметризация группы вращений 80(3), в которой закон композиции имеет особенно простой вид. Можно построить аналоги параметризации Федорова для всех групп 8033; 3) [24]. Матрица конечного вращения группы 8033; 3) записывается в виде = 1 , осДД+ДДф) 1-*(Д + 1+с2(Д ' Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=