1.2. Ортогональные группы и алгебры Кэли-Клейна 27 / 0 • 2 -г- ЛДД с*(Л = С3 о -('^1 \ -С2 С1 О С2^’) ==((+(22с!+((> (1.40) а матрице д(с";у) = д(с;д')д(с';д) отвечают параметры с", которые выражаются через с и с' формулой с" = с + с' + [с;сХ (1.41) 1 - (с- с )з Здесв скалярное произведение векторов с и с' дается формулой (1.40), а векторное произведение равно [С,с'Ь = 0’2[с, с']1 > [С,с']2, Д2[с,с']з), (1.42) где [с, с']/, еств компоненты обычного векторного произведения. В работе [164] введена операция контракции (сопкасНоп: сокращение, сжатие, пределвный переход) алгебр Ли, групп Ли и их представлений. При этой операции генераторы исходной подвергаются преобразованию, зависящему от некоторого параметра щ такому, что при е ф 0 это преобразование несингулярно, а при е —> 0 становится сингулярным. Если существуют пределы при е —> 0 преобразованных генераторов, то они являются генераторами новой (контрактированной) алгебры, неизоморфной исходной. Заметим, что преобразование (1.30) генераторов алгебры зо(3) при нилвпотентных значениях параметров у' является контракцией Вигнера-Иненю. Действителвно, Х*8фрх*~) еств сингулярно преобразованный генератор исходной алгебры зо(3), произведение (г, в) играет ролв стремящегося к нулю параметра щ а резулвтирующие генераторы АГ3(х) — генераторы контрактированной алгебры 8<о(3;Д. Сопоставляя закон преобразования генераторов (1.30) и выражение (1.38) для общего элемента алгебры зо(3), устанавливаем, что при мнимых значениях параметров у' некоторые из вещественных групповых параметров ту становятся мнимыми, т. е. они аналитически продолжаются из области действителвных чисел в области комплексных чисел. Ортогональная группа ДО(З) при этом преобразуется в псевдоортого- нальную группу ЗО(р, д), р + д = 3. При нильпотентных значениях параметров д вещественные групповые параметры гр становятся элементами алгебры Пименова Р(г) специального вида, что дает контракцию группы 30(3). Таким образом, с точки зрения преобразования групп при отображении -ф, обе эти, на первый взгляд, разные, операции — контракции и аналитические продолжения групп — имеют одну и ту же природу, а именно продолжение групповых параметров из поля вещественных чисел в поле комплексных чисел или в алгебру Р(г). Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=