28 Гл. 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна 1.2.3. Обобщение на высшие размерности. Геометрии Кэли- Клейна размерности п реализуются на сферах п = {(ж ж = х1 + $30> к)1хк = (1.43) к=1 в пространствах Нп+1(у), которою получаются из евклидова пространства Н,+1 отображением Ф ; н-п.+'1 Ь н—п-—1(О) фх$ = хо, фхк = (0,к)хк, к = 12,... ,п, (1-44) где у' = Оь •••. )) > Зк = 1, кк, г, к = 12,... ,п. Если все Дк = 1, то ф — тождественное отображение, если все или некоторые Дк = г, а осталь— ные параметры равны 1, то получаем псевдоевклидовы пространства различной сигнатуры. Пространство Нп+1(у) называем нерасслоенным, если ни один из параметров уь ...,Дп не принимает нилвпотентного значения. Определение 1.2.1. Пространство Нп+1(0) называем (к\,к2,... ,кр)- расслоенным, если 1 ) к\ < к% < ... < кр =+ п и ук, = ^,■■■0^ = Ькр, а осталвные Дк = 1, г. Эти расслоения тривиальны [7] и характеризуются набором по— следователвно вложенных проекций рг^рг^... ,ргр, причем для рг\ базой является подпространство, натянутое на {хо,Х{... ,Хк1-1}, а слоем — подпространство, натянутое на {х^х^ + 1,... хп}, для рг? базой является подпространство {хк,, Хк1+1,..., ж&2-1}, а слоем — подпространство {Хк2,Хк^1 +1... ,хп} и т. д. Расслоение в пространстве Н,+1 (у), с математической точки зрения, является тривиалвным расслоением [7], т.е. глобалвно оно устроено так же, как и локалвно. С физической точки зрения, расслоение дает возможность моделировать величины разных физических размерностей. Например, пространство Галилея, реализуемое на сфере 84(^1, /2,111), позволяет моделировать время I = X}, [й] = с и пространство Кз = {х^2, хз, 24}, [ж/.] = см, к = 2,3,4. Определение 1.2.2. Группа ЗО(п + 1;у) состоит из всех преобразований пространства Нп+1(у) с единичным детерминантом, сохраняющих квадратичную форму (1.43). Совокупность всех возможных значений параметров у дает 3” различных пространств Вп+10’) и геометрий Кэли-Клейна 8„(у). Пространства с одинаковой сигнатурой изоморфны (соответственно изоморфны и их группы движений). Обычно принято рассматривать пространства с точностью до изоморфизма, т.е. отождествлять, скажем, пространство К,з(4,г) с метрикой жд, + х2 — ж| и пространство К,з(г, г) с метрикой Жд — х2 + ж2- Мы же зафиксировали координатные оси в Кп+^1(у), присвоив им постоянные номера, поэтому у нас пространства К,з(4,г) и^м), соответственно группы 30(3; 1,г) и 3О(3;фг) различны. Это сделано для удобства приложений развиваемого метода. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=