1.2. Ортогональные группы и алгебры Кэш-Клейна 29 Действительно, приложение того или иного абстрактного математического формализма в конкретной науке означает прежде всего содержательную интерпретацию основных математических конструкций. Например, интепретировав в пространстве Н4Д 1,1) с метрикой .ж, — ж2 — ж| — ж2 первую декартову координатную ось жо как ось времени, а остальные Ж1Ж,жз как пространственные оси, получим кинематику (модель пространства-времени) специальной теории относительности. В нашем случае, поскольку мы не рассматриваем какую-то конкретную модель, роль содержательной интерпретации играют номера декартовых координатных осей рассматриваемого пространства — ось номер один, ось номер два и т. д. Вращения в двумерной плоскости {жг,ж3}, закон преобразования генераторов представления и их вид даются формулами (1.28), (1.30), (1.31) соответственно, где г, 8 = 0,1..., п, г < 8. Отличные от нуля элементы матричных генераторов вращений равны: (4ф8)8,. = = — (1ф8)Гз = (г, в). Коммутационные соотношения в алгебре Ли зо(п + 1;у) проще всего получить из коммутаторов алгебры зо(п+ 1), как это сделано в разделе 1.2.2. Ненулевые коммутаторы равны {Дь 51)2х3132, П = Г2, 81 < 82, (Г2,82)2ХГ1Г2, П<Г2, 81= 82, (1-45) -ХГ132, г1<Г2 = 81<82. Алгебра 8о(п+1) имеет [(п + 1)/2] независимых операторов Казимира, где [ж] означает ее лую ч аст2 1 неза ис При чеерами = 2й зиерато 1 ы К ои юза^ат извеутн о[1], аыесж 1 жт 14(^1 рмулом 1 п С2рт= Е Х«Л<*-Х^ (1-46) о> \,,,, ,о>р—о где р= 1,2,... ,к. При нечетном п = 2к + 1 к ним добавляется оператор п ста= Е ^.шпх^х1аш--кпап+э (1-47) 1 1 11. .,О/п —О где ^а1...ап — полностью антисимметричный единичный тензор. ДругоЮ —1 ос^с^сн опредлланияттеуаеона К азI^]лираР72а Ц2] состоит в том, ччоЛ ы чсосаоервдвев иго каксумматлетныx мир 1ров поручиу 21 оттисимы1 тримат мварицы ак[са)суттул нлав ыз ееиачачвлео .яд*^^: 2А1 Т8Уе1иП^, (2^^- 1^. Чтобы получт 1= операторы Казимира алгебры зо(п + 1;у), используем сIПчем, из аоженныр 1 тзетеле 122. И 1 (12Ч) нуxоаем пол = (п 1 в- и еодстааряе 1 1 ^Дб). Наи2о 1 ее 1 ингуляянаич ко- пффиц игн 8 (0,п)~2р имеет ляв-а 1м01 46)п Xпо...Xеа иОДер-Чт 1ко1 избаезеват оо пего 1 итема льным -о. 1пом, ум ножаем ^21 43 (0,71)^. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=