1.3. Унитарные группы и алгебры Кэли-Клейна 31 1.3. Унитарные группы и алгебры Кэли-Клейна 1.3.1. Определение, генераторы, коммутаторы. Специальные унитарные группы 5Ц’(п+1;0) связаны с комплексными пространствами Кэли-Клейна С„+1(0), которые получаются из (п + 1)-мерного комплексного пространства С„+| отображением ф : С„+1 > С„+1 (у) -г0* = г*, ф*к = (0,А))%, к= 1,2...,п, (1.51) где е Сп+1, го, %у Е Сп+1(у) — компексные декартовы координаты, Д = (у'1...,Дп), каждый из параметров уф принимает три значения Зк = 1-;,1 Квадратичная форма (г*, г*) = ХХ=о !гт!2 пространства С„+| переходит при отображении (1.51) в квадратичную форму пространства Сп+1(У) вида п '■г>г) = |г0|2 + —((0, й)2|г/|2. (1.52) к=\ Здесь |г&| = (ж- + Уу)1"2 — абсолютная величина комплексного числа %к = ху + Дуу, комплексный вектор г = (го, гц ..., г„). Определение комплексного расслоенного пространства такое же, как и для вещественного пространства в разделе 1.2.3. Определение 1.3.1. Группа 817(п + 1;ф) состоит из всех преобразований пространства Сп+110) с единичным детерминантом, сохраняющих квадратичную форму (1.52). В (й1, &2, • • •, йр)-расслоенном пространстве С„+1(0) имеем р +1 квадратичную форму, сохраняющуюся при преобразованиях из группы 577(п + 1;у). При преобразованиях, не затрагивающих координаты го, гц ..., г/--ь остается инвариантная форма 1 1 (^,г)з+1= V (К3, а)2|-а|2, (1-53) а=кз где з = 0, 1... ,р, ко = 0. При з = р суммирование ведется до п. Отображение (1.51) индуцирует переход классической группы 8121п + 1) в группу 82^{п + 1;у), соответственно алгебры зи(п + 1) в алгебру зи(п + 1;у). Все (п + I)2— 1 генераторов алгебры зи(п + 1) являются эрмитовыми матрицами. Однако, поскольку коммутаторы для эрмитовых генераторов не имеют симметричного вида, обычно переходят к матричным генераторам 8*кт’ к, т = 0, 12,... ,п общей линейной алгебры у/п+1_й), таким, что '^-то)|гто = 1, а остальные матричные элементы равны нулю. (Звездочка в А* означает, что А* есть генератор исходной классической группы.) Коммутаторы генераторов А* равны [4п С = 6тРА*уч — $кдАрт, (1.54) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=