1.3. Унитарные группы и алгебры Кэли-Клейна 33 где индекс I связан с индексами г, 8, г < 8, соотношением I = 8 + г(п — 1) — (1-62) а групповые параметр! VI, вещественны, отвечает конечное групповое преобразование из группы 5'Х(п + 1;у) вида И-(и, V, ; ; ;) = ехр{Я(и, V, уу;./)}. (1.63) По теореме Кэли-Гамилвтона [48] матрица ИИ алгебраически выражается через матрицы У'"', т = 0,1,2,..., п, однако получитв ее явный вид удается лишв для групп 5'Ц(2;у1) и ^У^д’ы.ф), которые рассмотрим в следующем разделе. 1.3.2. Унитарная группа 817(2;31). Простейшей из унитарных групп Кэли-Клейна является группа 5'Ц’(2;у1). Определение 1.3.2. Множество преобразований пространства СгЫ), оставляющих инвариантной форму "го"2 + образуют специальную унитарную группу Кэли-Клейна 5'У(2;у1). Если группа 5'Ц’(2;у1) действует на именованные координата го, д1%1 пространства С2О'), т0 ее элементы еств матрицы вида 9(3) = ( Л ; ’ ае1;?( = 1<а|2 +-?'2|(!2 = Е О-64) Здесв черта обозначает комплексное сопряжение. Образуя генератор! алгебры 8ы(2;у1) по формулам (1.58), получаем оч^(} _°,у л), 1о| = И« -о), (1.65) причем коммутационные соотношения равны [РыЗоо1] = Ьоь [Хо^Р1!] = 30оь [Оор^Н^Рь (1.66) Генераторы (1.65) при Д\ = 1 с точноствю до множителей совпадают с матрицами Паули. Отметим также, что для специалвных унитарных алгебр (групп) в комплексных пространствах Кэли-Клейна размерности алгебр (групп) при любых (в том числе и нильпотентных) значениях параметров остается неизменной. Генераторам (1.65) отвечают однопараметрические подгруппы вида / 1 . . . 1 . / сов — дуг итдг 9\(г\дф = ехрг(2о1О1) = 1 1 \г8Шу11Г сов—у’ 1 г / 1 . . 1 . / соо-д18 -зт-дЗ 92(з\дС) = ехрвДо1 0'1) = 1 1 \ 8111 -У 18 СО8—У 18 2 Громов Н. А. Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=