1.3. Унитарные группы и алгебры Кэли-Клейна 35 метры, которое в этом случае имеет вид |ск|2 = 1, т. е. а = е”"7^, /3 € С. Тогда (1.71) преобразуется: А. = [1 + иОгНЯ^+т/о)] 11 / (еФ+то)^ + ^ЕеО^^/О))) . — (1.72) Учитывая, что (1 + ^а')ч = ехр{—1п(1 + и®)} = ехр{—и«)} = и и = ехр{Аа}, /(а + цЬ) = /(а) + и1/'(а) и отбрасывая в (1.72) нилвпотентные слагаемые, получаем для операторов представления евклидовой группы 5'Ц'(2;г1) = М(2) выражение = е221|/3|с2(<+^-^г^./2) (1.73) где аг§.'3 = —р + 7г/2. Заменим групповые параметры ш,(3 на новые групповые параметри —ш,а,Ь по правилу: (3 = г(ехргш/2, где ( = а + + гЬ, |С| = г, аг§2 = тогда (1.73) запишем в виде ЛЫи))/^) = ь22^сн№(4-2)) , (1,74) что при 21Х = К совпадает с операторами неприводимого представления евклидовой группы Л1(2) (сравни с (2.1.3) в [9]). Посколвку последние унитарны при В = 1р, р — вещественное число, то операторы (1.74) унитарны при вещественных значениях А. Итак, формула (1.71) дает единое описание операторов неприводимых представлений трех групп: 577(2), 5'17(1, 1) и группы 5Д(2;р), имеющей структуру полупрямого произведения абелевой подгруппь1 ет, Т = {<Э1>2о1} и подгруппы Ц) = ехрщРь т.е. 577(2; р) = Такие группы называются [200] неоднородными унитарными группами. Группа 5Г7(2;г1) локалвно изоморфна евклидовой группе, представляющей собой полупрямое произведение двумерной подгруппы трансляций на подгруппу вращений плоскости. Сложнее обстоит дело с единым описанием пространства неприводимого представления. Для некомпактных групп 577(2; р) или 577(2;г) пространство неприводимого представления одно и то же Н(г) = Н(г) = Н, а именно: пространство бесконечно дифференцируемых квадратично интегрируемых функций на окружности, тогда как для компактной группы 5Д(2; 1) пространство Н ограничивается до конечномерного подпространства Н) = Н(1) тригонометрических многочленов порядка I. Причина заключается в том, что контракция (пределвный переход) еств локалвная операция, поэтому удается получите единое описание операторов неприводимых представлений (1.71), а пространство неприводимого представления определяется глобальными свойствами группы (ее компактностью или некомпактностью), поэтому строение пространства неприводимого представления необходимо устанавливать отдельно для каждой группы. 2* Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=