36 Гл. 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна Базис в пространстве Н(у’1) можно записатв в виде /у^фф'О = = С'йО'1)€!_а:<, где при =ч, г,к = О, ±1, ±2,... и = С^{г) = 1, а при 1 1 = 1 имеем А = О, 1, 1,..., —А < к < А и 1(1) = [(А — &)!(А + + й)!]_1/2. Скалярное произведение определяется формулой 2тг = О6*01^ 2 2“ 1111 1 11111 1 ) 1 = 5кт О (1.75) (сравни с (3.2.14), гл. III в [9] при 1 1 = 1, с (2.1.4), гл. IV в [9] при у1 = ц и с (2.7.4), гл. VI в [9] при у1 = Г). Операторв1 (1.71) реализуют неприводимою представления групп 5'Б'(2;у1), если А = О, 1... при у1 = 1 и А е С при у>1 = ч,г. Эти 1 представления унитарны, если А = О, 1... при у'1 = 1, А Е Ж А > О при Ф1 = И и А = — р, р е > при у’1 = г. В последнем случае имеем неприводимые представления первой основной серии группы 5'77(1, 1) (см. п.7, §2, гл. VI в [9]). Рассмотрим матричные элементы неприводимых унитарных представлений групп 5Ц'(2;у’1) в базисе {/УГ'’!)}- Исполвзуя (1.71), (1.75), получаем 2тг _ с*(у1) 1 ■ Матрица оператора Тд(рз(гц;у’1)) является диагоналвной матрицей, конечной при у’1 = 1 и бесконечной при у'1 = ц, г, на главной диагонали которой стоят числа ехр(—гтш). Поэтому из разложения Эйлера (1.69) имеем ЦУИЛ д.))) = е-’у+"-)^У^п0;у11), (1.77) где -рДп(Ус^^1) — матричный элемент, отвечающий подгруппе <1((^; ф1): /7Г Р^в’^=Стё)^\ (со8у1|+е-^8ту1|)71 х т О — +п х (со8уу| + ейгй1уу1)Х " е^т~п^Л1. (1.78) При 1 1 = 1 (1.78) совпадает с формулой (3.4.4), гл. III в [9], определяющей функцию РУ„(со80), — частный случай многочленов Якоби Р^уа’ЬУ(-г) с целыми а и Ь. При ф = г (П78) совпадает с формулой (3.2.6Ф Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=