38 Гл. 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна и совпадают с формулами (4.1.2), гл. IV в [9]. Для операторов представления имеем Т\(д) = Т\(д\)Т\{д2), что дает следующее соотношение для матричных элементов: е щ)) = (0,01 0))рДы(м 02 0)), (1.82) к где суммирование по к ведется от —А до А при Д = 1 и от —сю до сю при Д = 11> г- Учитывая, что согласно (1.77) М) = РЩкг, ДХ Пх. м = е1ур^4№2;Д), („0) = е-(у++-))рД„(0; Д) (1.83) получаем теорему сложения для функций РДп^Д!) в виде е-^+^Р^Д) = (1.84) к Это выражение при Д = 1 совпадает с теоремой сложения (4.1.7), гл. III в [9] для полиномов Якоби, а при Д = г совпадает с теоремой сложения (4.1.6), гл. VI в [9] для функций Якоби. При Д = 1 1 = с учетом соотношения (1.79), формула (1.84) принимает вид еУ7Р„(А0)= V еУл^д_А011)^((А02), (1.85) к=—<х> где параметрь1 0, у? связань! с параметрами 01,0^2,<у^2 формулами (1.81), и дает теорему сложения для функций Бесселя (4.1.3), гл. IV в [9]. Аналогично можно записатв в едином виде и другие свойства матричнвш элементов, например выражение производящей функции для матричнвш элементов РГп(0;Г). Из соотношения (1.78) и формул преобразования Фурве следует равенство А_ = С*(Д) (сод| + е“г<г8П1Д|у1 х — +п х (с°д| + ег<г8тДДу1 е“гп1 = Е^Л0;0^^^, т (1.86) где суммирование по т ведется от —А до А при Д = 1 и от —сю до сю при Д = ц,г, а коэффициенты СУ(Д) определены ранее. Формула (1.86) показывает, что Р(0,е_г<;Г) является производящей функцией для Р^пп^'’З}- Вводя переменную ш = <Д при Д = 1, получаем из (1.86) формулу, совпадающую с выражением (15.1.3), гл. III в =9] для производящей функции многочленов Якоби Р)Уп(со80). При Д = г, обозначая г = е~Л = получаем из (1.86) формулу (4.6.2), гл. VI в [9], описывающую производящую функцию для функций Якоби Ру„((сЬ0). Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=