1.3. Унитарные группы и алгебры Кэли-Клейна 39 При ( 1 = ц равенство (1.86) дает выражение (4.5.2), гл. IV в [9] производящей функции для функций Бесселя. Таким образом, единое описание групп 5'Ц(2;у1) порождает единое описание (1.71) операторов представлений и матричных элементов (1.73) этих операторов. Матричные элементы (1.75) операторов, отвечающих подгруппе <1(0; ф1), при 7\ = 1 дают многочлены Якоби Рдап(со80), аналитическое продолжение которых (при уф = г), т.е. I —> А е С, в о гО, приводит к функции Якоби Р^п(сЬ0). Контракция группы 5'77(2) в группу Евклида 5?7(2щ1) = ЛГ(2) индуцирует пределвный переход между матричными элементами — специалвны- ми функциями математической физики, а именно: многочлены Якоби Рт«(с°з0) переходят в функцию Бесселя .7п-т(Х(7) (сравни [9], гл. IV, §7, п.2, где рассмотрен пределвнв1Й переход рк,, ^соз 0 -у ./п—Тг) при I —> сю). Свойства специалвнвш функций, имеющие групповую природу, такие как теорема сложения (1.85), производящая функция (1.86) и, очевидно, другие свойства также допускают единое описание. Отделвного исследования для каждой конкретной группы требует, однако, выяснение свойств, определяемых глобалвным строением группы, таких как выбор пространств, в которых описанные представления неприводимы, а также нахождение тех значений параметров А, характеризующих представления, при которых эти представления унитарны. 1.3.4. Унитарная группа 577(3;у). Группа 317(3;з), 7 = (31,фф) состоит из преобразований, сохраняющих квадратичную форму (ст, г) = = ко|2 + 32|-г1|2 + ф2ф21г2|2- Матричные генераторы общей линейной алгебры д1з(з), согласно (1.56), имеют вид ( 1 0 0 \ /0 0 01 / о о о \ Аоо= ( О О 0 ) ,Ац= ( О 1 О ) ,А22= ( О О 0 , \0 0 0 1 \0 0 0/ \0 0 1 / /О О 0 \ /0 1 ( 0\ /О о о \ А10 = (1 о 0 ( , = ( О 0 0 ( , А20 = 0 0 0 1, ко о о ) ко о 01° к Югу 0 о ) /00 У1ф2 \ /о ОО \ /ОООА А02 = ( О О О ( , А21 = ( О О О ( , А12 = 0 0 ф2 ( , к 0 о о 1 ко У2 0 1 к 0 о о / (1.87) а генераторы алгебры 8ы(3;у), построенные из (1.87) по формулам (1.58), равны . / 10 0 \ . ( о о о \ Р1 = 0 0 -1 О ( Р2=^;г 0 1 0 ’ 2 к оо о 7 2 к о о -1/ 31 о о -31 0 \ о о ( , о 0 7 Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=