40 Гл. 1. Группы и алгебры Кэш-Клейна ■ ( 0 32 = | -0 0 \ 3132 0 . / О О О 3132 0 \ 4=ы ( °. . / о о 0 0 О \ 0 ~1132 \ 0 0 , 0 0/ Оз = К 0 о 32 }, Ьз = ^ (о о 4), (Ы.оо) 2 к о 32 0 / 2 к о 32 0 / где обозначено 0>к = Зоь Ьк = БОк, к = 1,2, Зз = 3[2 Рз = Лю- Эти генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям 1РыР2]=0, [41,31] = 41, [Р1,Л]] = -31 р^1,32] = 1л2, 1^1^2] = -!32, [Р1,3з] = -Улз, [Р1,4з] = [Рг,^] = -|Ь1( [42,4] = З^, [Р4, 32] = 1у2, [Р4,4] = -|з2> [Р4, Зз] = 4. [Р4, 4] = -з3> [1з ы -м = & [О2,4] = 3^1 +42), [Зз, 4]= з2р2, [<Я,Р2] = -ДЗз, [Зг.Ц = |зЫ1, [41,32] = Ц^^3] = -Дз- [3ы,-4 = 43з2, [З^ЗЫ] = Зз2, [К] = уь3> [31,34 = З^2, [32,34 = Дыь [Р1,Р2] = Др3, [И^з] = 4^з^ [Ц^з] = (1.09) Контракции изменяют структуру группы (алгебры). Полагаем, скажем, 31 = 1 1 в (1.09). Полученные коммутационные соотношения показывают, что простая классическая алгебра оы(3) приобретает структуру полупрямой суммы, а именно: зЦЗ; 11,32) = Т3ди(2;з2), где коммутативный идеал Т натянут на генераторы 31, 4, З2, 4^, а подалгебра ы(2;у2), натянутая на генераторы 4ц Р2, Зз, 4^, есть алгебра Ли унитарной группы в комплексном пространстве Кэли-Клейна. Из коммутаторов (1.09) при 31 = 11 устанавливаем, что [Т, ы(2;Л)] с Т, как это и должно бытв для полупрямой суммы алгебр. Группа 54(3;иЛ) имеет структуру полупрямого произведения 5Р'(3;и,Л) = еxр(Т):хЗ(2;Л) и является так называемой неоднородной унитарной группой [200]. Общему элементу алгебры зи(3;З) вида з Д(и V, мт; Л = З^(43/. + укЬк) + гщР1 + щ2р2 = к=1 ! / ги)1 = 2 Ич +Шы) \ З1З23 + ги2) -ЛЩ - шы) -ЦзЖъ - ш2) г(го2 — ЗС1) Л(«з + 4^з) -З2&3 - гиз) I —Ш2 ) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=