42 Гл. 1. Группы и алгебры Кэш-Клейна С = {(12 - Лз) ехр(/ц) - (/и - Л3) ехр(Ю) + + (/11 -^з^хр/Лз)}/#, Р = (Ыы-Ы2)(/^1-Ыз)(/^ы-Ыз). (1-96) Поскольку ТгЯ = О, то = 1 и мы имеем конечное групповое преобразование, записанное в координатах второго рода. 1.3.5. Инвариантные операторы. Алгебра зи(п + 1) имеет п независимых операторов Казимира вида п СР= Ц А1^А1^...А1рка, р=ы.2....,п. (1.97) ко,.. ,,кр=0 Чтобы найти инвариантные операторы алгебры зи(п + 1; у), используем прием, описанный в разделе 1.2.2. Для получения закона преобразования оператора Казимира при переходе от алгебры зи(п+ 1) к алгебре 8г(п+1;у) заменим в (1.97) генераторы А* их выражениями через генераторы А(у) согласно (1.56) и домножим полученный оператор, который обозначим С7*(—’)> на наиболее сингулярный коэффициент в минус первой степени при слагаемых, входящих в (1.97). При четном р = 2д наиболее сингулярный коэффициент (0, п)~2д возникает при слагаемом АопАпо--- АпАш,. а при нечетном р = 2д — 1 он стоит при слагаемом А^опАпО---АопАпо, поэтому, в соответствии с (1.34), операторы Казимира преобразуются следующим образом: ср^ = о п . (1.98) где р = 2д или р = 2д — 1. Используя (1.97) и (1.98), находим вид инвариантных операторов алгебры зи(п+ 1;у) ” гл я Я ^“1 СД))= Е 1 к ■ ..А. те. . (1.99) к„,...,кР=О РР т=0 где р = 1,2,..., п. В работе [25] теми же методами, что и в случае ортогональных алгебр, доказана теорема. Теорема 1.3.1. Для любого набора значений параметров у число инвариантных операторов алгебры зи(п + 1;у) не превосходит п. Поскольку операторы (1.99) независимы при р= 1,2, ...,п, то алгебра зи(п + 1;у) имеет ровно п инвариантных операторов, явный вид которых дается формулой (1.99). Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=