1.4. Симплектические группы и алгебры Кэли-Клейна 43 1.4. Симплектические группы и алгебры Кэли-Клейна 1.4.1. Определение, генераторы, коммутаторы. Прежде чем рассматривать симплектические группы Зр(п,д) в пространствах Кэли-Клейна, рассмотрим пространство Нп(у), которое получается из п-мерного пространства Евклида Н„ отображением Ф : В-п 1 Ип(у) фх* = XI, фхр = (0, к — Ф)хр, к = 2,3,... ,п, (1.100) где х* е К,„, ж е П„(у), д = (у1,у2, • • .,уп-1). Определение 1.4.1. Группа Зр(п;д) состоит из преобразований 271- мерного пространства КДу) х Н„(у), сохраняющих билинейную форму п [х,у\ =х1У_1 — х_\У\ +]2((0> к - 1)2(ж/ет_/е - Х-кук}. (1.101) к=2 Здесь декартовы координаты хр, ур, к = 1,2, ...,п принадлежат первому сомножителю в прямом произведении пространств, а х-ру-р — второму. Для (й,..., йр)-расслоенного пространства имеем р + 1 билинейную форму, сохраняющихся при преобразованиях из группы 8р(п;Д), а именно, при преобразованиях из Зр(п',д), не затрагивающих координаты ... остается инвариантной форма к 1 _р. [ 1 [ж,7/]з+1= (ка-1,т-'')2(XкУ-к-Xкккк), (1.102) т=кз где з = 0, 1... ,р, ко = 1. При з =р суммирование по т ведется до п. Генераторы X алгебры ар(п;у) получим из известных [1] генераторов X* классической симплектической алгебры зр(п) преобразованием, индуцированным отображением (1.100). Рассмотрим как матричные генераторы X, связанные с преобразованиями в пространстве Вп(^У) х Нп(у), так и генераторы Х(ж), порождаемые действиями группы левыми сдвигами Зр(п',д') в пространстве дифференцируемых функций, заданных на К,п(у) х Н„0у), т. е. д/(ж) = /(р_1ж). Из определения генератора (1.103) где х' = д(а)х, р(0) = 1, д е Зр(п,д'), х е Н„(у) х Н„(у), находим закон преобразования генераторов при переходе от алгебры зрфп) к алгебре врфпрду. хт(х) = (Ы -1, н - 1)С(у**)- (1.104) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=