44 Гл. 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна Преобразуя известные генераторы симплектической алгебры, получим генераторы алгебры 8р(п;у) в виде хт[х) = (Н - 1. н - 1)1+5««|-нма,_ -(|ы| - 1, - - I)' 1К'п " " г,ш,ш..г (,У „1 (1.105) где уэи = 811§п(ы), т. е. и, = 1 при и > 0, и, = 0 при и = 0, ши = = — 1, при и < 0, и, V = ±1..., ±п. Генераторы (1.105) не являются независимыми. Они связаны свойством симметрии Хт(х) = —ши1и„Х_.0_и(х). (1.106) Размерность алгебры 5р(п;у) равна п(2п + 1) при любом наборе значений параметров у и в качестве независимых выберем следующие генераторы: Хгг(х) = хгдг — х_гдг, г = 1,2,,.., п, Хг_г(х) = 2хгд-г, г = ±1, ±2,..., ±п, Х8Г(х) = ("г" — 18 — 1)2ж35г — иу-Х-гд-ц, "г" < 8, 8 = 2, 3,...,п, ХГв(х) = х-дв — ("г" — 1,8 — 1 (1.107) Генераторы (1.105) удовлетворяют коммутационным соотношениям РМ = ("и" -1, Н - 1)(|«'" -1, И - 1) {('ц|г_Ц11^^|,_1)- $иу/ХиУ . еииУ6—уУХи',—иуУКТи'3щ.—иХ—у > " 1 ' (Ы-11М-1) ' (М-11И-1) Матричные генераторы Хт связан! с генераторами Хи-(х) (1.105) в пространстве дифференцируемых функций соотношениями (1.108) Хт(х) = ЭХтх, (1.109) где д = (д,...,дп,д-\,... ,д-п) — матрица-строка, х* = (ж1,... , хп, Х-1,..., Х-п)* — матрица-столбец и произведение в (1.109) есть обычное матричное произведение. Независимые генераторы (1.107) представляются матрицами размерности 2п, ненулевые элементы которых равны (Хгг')гг = 1, (Хгг)_Гг_г = — 1, г = 1,2,..., п, (Хг,_г)_г г = 2, т = ±1, ±2,..., ±п, (ХГ8)8Г=1, (Хгз)_г._8 = — Щг(|г| — 1,8 — I)2, |г| < 8, 8 = 2, 3,..., п, (^г)г8 = (к|-1,8-1)2, (X,,= -Ш,.. (1.110) 1.4.2. Инвариантные операторы. Классическая симплектиче- ская алгебра 8р(п) имеет ровно п независимых операторов Казимира вида Е у* У* у* ^^■и1и_-и_2и^3 • • • -Л. -ири 1 ’ (1 .11 1) ^р Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=