1.5. Классификация переходов между группами 45 где р = 2,4,..., 2п. Как и ранее в случае ортогональных и унитарных алгебр, заменим в (1.111) генераторы X* их выражениями через генераторы X согласно (1.104) и домножим оператор С* на наиболее сингулярный коэффициент в минус первой степени при слагаемых, входящих в (1.111). В нашем случае это выражение равно (0, п— 1)р, поэтому ОД) = (о,п-1ГС(ю = (0,п - 1) ■ ■ ■ ^-ири\ (1.112) Е Свойства операторов Казимира Ср(у) описываются следующими утверждениями, доказанными в работе [28]. Утверждение 1.4.1. Операторы Сф(у), р = 24..., 2п принадлежат центру 2 универсальной обертывающей алгебры для алгебры Ли зр(п;Щ). Утверждение 1.4.2. Количество линейно независимых операторов из центра 2 алгебры зр(пф') при любом наборе значений параметров у не превосходит п. Операторы Ср(у) при р = 2,4, ...2п линейно независимы, так как образованы генераторами Хиу в разных степенях. Из этого факта и сформулированных утверждений вытекает теорема. Теорема 1.4.1. При любом наборе значений параметров у алгебра 8р(п'ф) имеет ровно п инвариантных операторов Ср(р), р = 2,4,... ... 2п вида (1.112). 1.5. Классификация переходов между группами В предыдущих разделах мы определили ортогональные, унитарные и симплектические группы в пространствах Кэли-Клейна и показали, что их генераторы, операторы Казимира и другие алгебраические конструкции получаются преобразованием соответствующих конструкций классических групп. Такой естественный подход оправдан тем, что классические группы и характеризующие их алгебраические конструкции хорошо изучены. Является ли, однако, такой подход единственным? Нельзя ли в качестве исходной взять одну из групп в пространстве Кэли-Клейна? Положительный ответ на эти вопросы дает следующая теорема о структуре переходов между группами. Определим (формально) переход от пространства С„+1(у) и генераторов Яа^!г;у) унитарной группы 81фп+ 1;у) к пространству С„+1 (у') и генераторам Яо&(2/;)') преобразованиями, которые получаются из преобразований (1.51) и (1.59), если заменить в них параметры уф на з'уЗу 1: /:С„+1(у)^С„+1(у') Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=