46 Гл. 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна 0(4.7) = к Ло=4> ф'?к = к = Г2>--->п> т==1 (1.113) Обратные переходы получаются из (1.113) заменой штрихованных параметров д' на нештрихованные д и наоборот. Применив (1.113) к квадратичной форме (1.52) и генераторам (1.60), получим п к (г, г') = |4|2 + 52 1г^|2 П Зт> к=\ =11 хкк = 4^, х„ = 4д', = (П/2>Х (1.114) 1 = \+гт.е. квадратичную форму в пространстве Лл-Г) и генераторы группы 5Ы((Г-1;;’'). Однако построенные переходы имеют смысл не для любых групп и пространств (формалвноств преобразований (1.113) в этом и состоит), так как при нилвпотентных значениях параметров д выражения типа ьк \ кт ■ При к , т не определены. Мы определили в разделе Ы толвко выражения ъу ■ /Д = 1 к= 12,....и. Шэтому если некоторый параметр уф = ъу, то преобразования (1.113) будут определены и дадут (1.114) только в том случае, когда штрихованный параметр с тем же самым номером равен тому же самому чисто нильпотентному значению, т. е. Д = Ък. Переходы от пространства Н„+1(ф) к пространству Н^рСЛ а также от групп 8О(п + 1;ф), 8р(п\д) к группам 8О(п + 1;/), 8р(п\д'), соответственно, получаются из преобразований (1.44), (1.30), (1.100), (1.104) такой же заменой параметров ду на дкдк1- Аналогично устанавливается и допустимость этих переходов. Введем обозначения: б?С) = 8О(п+ 1;Д Ш(п+ 1;у), 5р(п;уД Щу) = Н„+1(Д, С„+1(Д НДу) х ИДу). Условимся обозначать символом Фб?(у) = б?(у') преобразование генераторов группы. Несложный анализ преобразований (1.113) и обратных преобразований с точки зрения допустимости переходов [26] дает следующую теорему. Теорема 1.5.1. О классификации переходов. I. Пусть С(д) есть группа в нерасслоенном пространстве Н(у), а С(д') — группа в произвольном пространстве Н(уД тогда С(д') = Фб?(у). Если в(|) — нерасслоенное пространство, то Ф взаимно однозначно и ВД = ф-МЛ II. Пусть С{д) есть группа в (к\,кч, ■ ■ ■ ,кр)-расслоенном пространстве НС), а С(д') — группа в (т1,т2,... ,тд)-расслоенном пространстве ад, тодаа С!(д') = Ф(ф(у) , есии числа (к,,...,рр) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=