3.2. Представления алгебр «(3; Д ,Д) 69 Алгебра и(3; ц, 1) есть неоднородная алгебра Ш(2) в обозначениях работы [127]. Условие определенности и унитарности генератора Лоо дает (т 1 з + тзМц = д е Ж т. е. т\з = к + пгз3 = -й + . . . й,де>, к . 0. (3.39) Вещественность к вытекает из соотношения унитарности для Аоь Аю, а неотрицательность из неравенства 77113 У тзз, рассматриваемого для вещественных частей. С учетом (3.39) имеем Д—77^1377133 = к и выражения (3.38) при Д = 1 совпадают с соответствующими формулами работы [127] для 1(7(2). Целочисленные компоненты схемы |т) связаны неравенствами т\з У? тзз тзз, т\з Ут^У тзз, вытекающими из (3.31) при Д = 1 1 . Схема |т) получается из схемы (3.31) при Ш13 = к, тзз = —к. Спектр операторов Казимира в данном представлении алгебры ы(3; г, 1) находится из (3.35) и оказывается равным 1) = д + тз3, С2(ц, 1) = 2к2, Сз(П> 1) = Зй2(д + '). (3.40) Алгебра зи(3, ц, 1) отличается от алгебры ы(3, ц, 1) тем, что диагональные операторы удовлетворяют соотношению Лоо + Ап + Аз = 0. Действуя на схему |т), находим спектр операторов Казимира СДиД) = 0, Сз(ыЛ) = 2к2, С73(г'1) = 3й2(1 -тзз) (3.41) представления алгебры зи(3; , 1) = Т4^^м2^)> генераторы которого описываются формулами (3.38) при Д = 1, где нужно положить Ш13 = к -и —, тзз = -к - 7—, к уг ° т23 € 2. (3.42) Здесь 2 обозначает множество целых чисел. 3.2.3. Контракция по второму параметру. Структура контрак- тированной алгебры имеет вид ы(3;Д, <2 = Т4&(и(2; Д) ф ы(1)), где Т4 = {Д12,Д21Д02,А20}, м(2;Д) = {Аоо,Ац,АоьАю}, ы(1) = {А22}. При подстановке в (3.32) значения Д = щ встречаются выражения |ттг12 ± ^2), с которыми поступаем в соответствии с общими правилами обращения с функциями нильпотентного переменного, т. е. раскладываем в ряд |Ш12 ± = И ± И'12 = ОП., \ГП22 ± Г2) = |М ± ф|М2г> М22 = ■ (3.43) С учетом этого замечания формулы (3.32) при Д = 1з дают следующие выражения для генераторов: Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=