3.2. Представления алгебр «(ЗщДД) 71 рованных или аналитически продолженных алгебр, отвечающие таким схемам, понимаются как обобщенные функции, по-прежнему ортого- налвные, но нормированные на делвта-функцию. В частности, для |т) имеем (3.47) где квадраты делвта-функций появляются из-за того, что г и к по два раза входят в компоненты схемы. Сравни с работами [118-120] в случае контракций и с работами [176, 177, 195] в случае аналитических продолжений. Подставляя (3.45), (3.46) в формулы (3.44), получаем генераторы представления алгебры ^(З^"!,^): Аоо|т) = (т2з + я - з)|т), АДт) = (-тпМ Д77|т) = тц|т), А12 |т) = г|тц Щ 1), Ао2 |т) = у к2 — д2г- |тц щ 1) +ДмТд4|М - ^И'12 - ИУ) • к -дг ) (3.48) Соотношение эрмитовости для операторов Ао2, Д2о дает к2 — Дгг- Ь О, что при Д = 1 накладывает ограничения к Уг г. Действие операторов на производные схем находится с помощвю (3.43) применением операторов к обеим частям равенства |тг)12 = + г2) — |т-^12 — г7))/7г7• Собственные значения операторов Казимира для представления (3.48) получаются подстановкой компонент (3.45) в (3.35) и имеют вид = д + «г23> С2^1,С2) = 2к2, Сз(ДЩ2) = Зй2(+Ы). (3.49) Они все отличны от нуля и независимы, как это и должно бытв для невырожденного представления алгебры 'и(3;Дщ2). Отметим, что спектр (3.49) совпадает со спектром (3.40) операторов Казимира алгебры ы(3; и, Д). Для удобства приложений (интерпретации) мы зафиксировали индексы генераторов АРг, поэтому ы(3;1щ2) и «(ЗщыД) оказалисв у нас разными алгебрами. Если теперв отказатвся от этого соглашения, то нетрудно установите изоморфизм указанных алгебр. Представление (3.38) ,(3.39) реализовано в дискретном базисе, порождаемом цепочкой подалгебр ы(3; и, 1) 7) и(2; 1) э ы(1) и описываемом схемами вида тз Е 2, к Ь О, Ш22 Т22 >, тщ Ь Т23 У 11122. Ту2 ТПц Т22 11 / Ш12. Т22, Иц € 2 (3.50) Коми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=