3.3. Представления унитарных алгебр и(п;э) 73 Требование определенности операторов Аоо.Ац, а также условие эр- митовости дают для компонент схемы |ттг) выражения П113 = к 12,, т33 = -к + 7,721, к 1 О, д е 2 Ш12 = г + ^|, ГП22 = -Г + 12^, О 0, 8 6 Ж (3.53) подстановка которых в формулы (3.52) приводит к операторам представления вида Аоо|т) = (т2з + д- з)||т), АЦ|т) = (з-тц1)|т), А22|т) = тц|т), А,2|т) = г|тп - 1), Аг1?п) = г|тц + 1), Ао2|Ж) = &тц - 1), А2о|Ж) = &шц + 1), (3.54) 1т) + | (М'2 - ЫУ . -тц - т2з + 2 где через |ттг) обозначена схема 77111, ГП23 е ж кЗз г 1 0. (3.55) Отметим, что оператор А01 + Аю диагоналей в базисе |тп), а спектр операторов Казимира представления (3.54) алгебры ы(3;г) дается теми же формулами (3.40), (3.49), что и в случае алгебр ы(3; гцуФ), ы(3; ф1,Г2)- 3.3. Представления унитарных алгебр и(п;у) 3.3.1. Операторы представления. Стандартные обозначения Гельфанда-Цетлина (исполвзуется вариант, приведенный в монографии [1]) отвечают убывающей цепочке подалгебр ы(п) Э и(п — 1) Э Э ... Э ы(2) э м(1), где и(п) = {Еуг, к,г = 1,2,---, п} ..., ы(2) = = {Екг, к,г,= 1,2}, ы(1) = {Ж,}. Здесв будет использоваться другое вложение подалгебры в алгебру, приводящее к цепочке подалгебр вида ы(п;ф1,ф2, ... ,ф^_1) Э и(п — 1;ф2, ... ,ф.-1) Э ... Э ы(2;}„_,) э ы(1), где и(п;у1]2,... ,2п_1) = {Авр, 8,р = 0, 1, ...п- 1},и(п- 1;ф2, ....Ь--1) = = {АзР, з,р = 12,... ,п - 1},... ,ы(2;}п-1) = {АзР, з,р = п - 2,п - — 1}, ы(1) = {Ап_1.п_1}. Чтобы перейти от стандартных обозначений к нашим, нужно замените индекс к у генератора на индекс п — к и оставить неизменной нумерацию компонент схем Гельфанда-Цетлина. Для определения представлений алгебры ы(п) достаточно задать действие генераторов Еру, Еуу+\, Еу+\у, а оставшиеся генераторы найти из коммутационных соотношений. В наших обозначениях достаКоми научный центр Уро РАН
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=