1881Х 0130-4313 АКАДЕМИЯ НАУК СССР КОМИ ФИЛИАЛ НАУЧНЫЕ ДОКЛАДЫ 7$~ Н.А.ГРОМОВ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА ГРУПП ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ СЫКТЫВКАР 1111
X.
-3 Академия наук СССР Коми филиал Серия препринтов ”Научные доклады” Выпуск 75 Н. А. Г р о м о в ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА ГРУПП ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ Доклад на заседании Президиума Коми филиала АН СССР 18 июня 1981 г. Сыктывкар 1981
УДК 513.015+530.1 055(02)2 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА ГРУПП ДВИЖЕНИЙ ПРОСТ - РАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ. Громов Н.А. Серия препринтов "Научные доклады". Коми филиал АН СССР, 1981, вып. 75 , 11 с. Определены аналоги специальной унитарной группы в расслоенных пространствах. Построены преобразо - вания, позволяющее из известных операторов Казимира группы 8О(п+1) получать операторы Казимира группы движений произвольного п —мерного пространства постоянной кривизны. Метод проиллюстрирован на примере групп движений 4-мерных пространств. СОК 513.015 + 530.1 055(02)2 СОЫТКАСТ1ОИ8 АИПСА81М1К ОРЕКАТОК8 О Г МОТЮК 6КОСГР8 ОЕ СО№ ТАХТ СНКУА= ТИКЕ 8 РАСЕ8 „ С г ото V МА. 8 ег1ез о( рг е° рг 1 пс з „8 с! епс 1 И с Керогсз”, Копп Вгапск о! ске АсаЗету о! 8 с1 епсез8 118 8 К8 1981„ 1ззие 75.11 рр ТЬеге аге ЗеЕ! пес! пас иг а! §епег аП гас 1 опз о( ске зре» С1 а1 ип!сагу §гоир Гог Н Ьг ес! (Зе§епегас еЗ) зрасез . ТЬе усе!! кпоуп Сазсгпсг орегасогз о! 80 (п+1) §гоир аге Сгапз(огтеЗ спсо скове о! а тос+оп ^гоир о( ап агЫссагу п= 31 тепзсопа! сопзСапС сигуасиге зрасе. Тке тескоЗ 1 з 1 НизСгаСеЗ Ьу ске тос1оп §гоирз о! зоте о! ске Соса1 питЬег о! 55 поп! зотогр° коиз 4° 31 тепз1 опа! зрасез. Редакционная коллегия М.П.Рощевский (отв. редактор), Е.П.Калинин (отв.секретарь), И.В.Забоева, В.П.Подоплелов, Н.Н.Рочев, М.В.Фишман © Коми филиал АН СССР, 1981 Коми научный центр Уро РАН
ВВЕДЕНИЕ Группы Ли и алгебры Ли находят широкое применение во многих областях теоретической физики. Особый интерес для физики представляют группы движений максимально однородных пространств - пространств постоянной (в частности ну - левой) кривизны. В случае вещественных пространств постоянной кривизны (ППК) в качестве примера достаточно наз - вать группы Евклида, Галилея, Пуанкаре, де Ситтера. В теории элементарных частиц широко используются унитарные группы Г.А.Зайцев [7] в связи с потребностью разработки общей теории, объединяющей несколько предельных физических и геометрических теорий, предлагает изучать сразу то или иное множество теорий, характеризуемых заданием основной группы. Нами был рассмотрен набор из групп движений пространств постоянной кривизны [3"| и изучены предельные переходы между группами. Эти переходы индуцируют преоб - разования операторов Казимира, т.е. образующих центра универсальной обертывающей алгебры для алгебр Ли групп движений ППК. В настоящей работе мы строим соответствующие преобразования операторов Казимира и с помощью этих преобразований получаем операторы Казимира группы движений произвольного И-мерного ППК из известных операторов Казимира группы §1. ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППЫ В РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Рассмотрим отображение Т: где Ут/о/и) задаваемое формулой V- “’ШГм И2* > к=ОД->и (если , то считаем х! =0 ? I )• Здесь 2К - координаты вектора из Сп+Ч в некотором ортонормирован - ном базисе, а , где 1^0 , ноЛг»0 есть чисто 3 Коми научный центр Уро РАН
дуальное число, введенное Клиффордом [8] . При > ?кг=1г к,<кг <•. . < кг получаем флаглинейное (( хг )-расслоенное) пространство Еэ.юЗ . Группа допустимых линейных преобразований в пространстве (О определяется как группа (п+1 )- мерных матриц с отличным от нуля детерминантом, элемен - ты которых при , а при. р равны ■ Еоп« погром , , а наложив при —...---- -™~-у Е>Цп+Д|) , сохраняющую квадратичную форму 21к=о^Пгв^^) |7к|г . Каждая из групп Ж. (1) зависит от (н+1 )г - 4 вещественных пара - (},С) и &1П+Ж,С) --- - Т . Группа .. „______ _________ о комплексного ’ постоянной кривизной (р= ?/= Ч4-: Матрицы $ е.Н; > удовлетворяющие условию (1), образуют группу 4.7, <А) , зависящую от П (п+1)/2 параметров при любом | . Группа ЬОщ Ю изоморфна “ 1 ' И - мерного вещественного то получим группу еще условия ?-1 V1 ^'(1) получим специальную унитарною группу зависит от 1) - 4 _ вещественных пара - метров, в отличие от групп ; С) и у которых число параметров зависит от зц-Лс?) изоморфна группе движений й-мерного пространства с (.}]= Ср), где группе движений к) ппк 71-5^/34,1?) §2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПЕРАТОРОВ КАЗИМИРА Исследование предельных переходов между группами 6П (|) показывает [з] , что группа 6у( (.р получается из группы движений бу, (7) сферического ППК преобразованиями хг.-О.М-- Здесь Ло^ - генераторы сдвига вдоль бельтрамиевой коор - динатной оси Ту , генераторы вращения в двумерной плоскости - генераторы группы б„ (р 4 ~ Коми научный центр Уро РАН
л , •- генераторы группы ; Iй = 0,1, ■ ■ ■, П~1^ V р+1, - - •> Преобразования (2) индуцируют преобразования операто - ров Казимира, построив которые, мы из известных операто - ров Казимира группы (у (-7) получим операторы Казимира для произвольной группы • Операторы Казимира группы 50М , изоморфной 6П(/П , найдены И.М.Гельфандом Г2] . В случае четного они равны ЧС1Х—а Х^Х^.-.Х^, <з> <Чг-/)‘гр . где р=г,2,...?т , а в случае нечетного к операто - рам (3) добавляется оператор С4Ю= где ~ полностью антисимметричный единичный тензор. р ... Чтобы совершить переход к операторам Казимира '-2рЦ/ И СЧр В .............. генераторы X И домножим, ( И ГК емых П п К-1 Чл/'Ч'"1 домножим на наименьший общий знаменатель слагаемых Д Л- * С Ч.01^ ) {4) заменим, согласно в формулах (3), (4) _ ■ чг у ,, их выражениями через генераторы А С-т_р на наименьший .-л , входящих в (2), общий знаменатель Ьгр > а оператор С слага- ■Л КМ Ц ~/М1 ’ вхояящих в * • В результате получаем закон преобразования операторов Казимира при переходе от группы е„(г) к группе (|) Сир= » ® К' I ЭрОВ 1- <5’ - 5 - Коми научный центр Уро РАН
Воспользовавшись теперь (3), (4), запишем явные выражении операторов Казимира группы &п через генераторы ■наш группы Можно поюзать, что группа у7 при любом имеет ровно одораторов Казимира, поэтому формулы (7)-(8) л лют явный вид всех инвариантных операторов группы &п^РЙЗ. ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА ГРУПП ДВИЖЕНИЙ Ж-МЕРНЫХ ППК I Расс мотпим в качестве примера группы которые являются группами движений следующих 4-мерных НИК . - сферического, - евклидова, - пространства’ Лобачевского, ^,1) - антидеситтерова, - пространства Минковского, ~ пространства де Ситтера. “ группы движений расслоенных миров [4^| , т.е. пространств-времен с абсолютным временем. При этом, - группа Галилея, (уч (1,1) и полусферическая и полугиперболическая (полуло - ба невская) группы(Н. Гысгу и др. Г11.12] называют эти группы группами Гука), т.е. группы движений нерелятивист- скпх пространств—времен с положительной и отрицательной кривизной соответственно. Группа. , изоморфная 50(2) } имеет дива независимых оператора Казимира , •* 2 С,1М) = Н + б Коми научный центр Уро РАН
И - л где введены новые обозначения генераторов, ’• — Рк = ^о.к-и > Х1?к+1 ,К~1г>3, Используя (2), (5), находим операторы Казимира гч , . : \ — 2 '23группы При ^=^=1 получаем операторы Казимира группы де Ситтера, которые совпадают с операторами, полученными Ф.Гюрши [б] . Полагая ' полУчим операторы Казимира группы Пуанкаре0, совпадающие с операторами, приведенными в монографии Н.Н.Боголюбова и др. [13 . При ^=-1,1 , |2= I формулы (11), (12) дают операторы Казимира полусферической и полугиперболической групп, совпадающие с операторами, полученными [123 . а при 3 I имеем операторы Казимира группы Галилея; которые равны операторам, приведенным в работе - 1-еьи>п^ [15]. Ч-М. Ьгуу-8е^оис/ описал [14] кинемат и чес кую гру г ту (группу Кэрролла), которую Ф.Дайсон назвал [б[] , наряду с полусферической и полугиперболической группами, "наиболее интересной из еретических кинематических групп''. Эта группа есть группа движений пространства-времени с абсолютным пространством (пространство Кэрролла), в противоположность группе Галилея, где абсолютно время. Группа Кэрролла в наших обозначениях есть 6). (’м)'МД'1 • Группы и и являются группами движений пространства Кэрролла с постоянной кривизной: положительной и отрица - тельной соответственно. Н- Васлч ,и др. [11[| назвали эти группы "неоднородной ’руппой $о (Ь)" и "пара-Пуанкаре" Коми научный центр Уро РАН
(13) группой. Операторы Казимира групп равны (14) где Н~ ^1= ^23 > 1 к 'ок > , = ~Х<5 > „. связаны с тем.' что в пространствах Кэрролла в качестве временной оси выбрана четвертая координатная ось. При ^=1 операторы (13), (14) совпадают с операторами Казимира группы Кэрролла [14 ! . Эти новые обозначения ) ЗАКЛЮЧЕНИЕ Отталкиваясь от допустимых линейных преобразований в пространствах О. Ф , мы определили специальные унитарные группы Зоп+1(|) , которые в случае нерас - слоенных (т.е. V- К ) [пространств сводятся к из - вестным группам 5(Гп+1 , о(/и+1 , а в случае ( ^1, Кг,•- -, ) - расслоенных пространств являются аналогами специальных унитарных групп. Построены предельные переходы для операторов Казими - ра, с помощью которых все операторы Казимира группы движений произвольного и-мерного ППК получены из известных операторов Казимира группы А0(и+'0 • Метод проил люстрирован на примере групп движений 4—мерных ППК. Автор благодарит Г.А.Зайцева, Р.И.Пименова, В.Н.Прохо - рова, А.П.Широкова за полезные обсуждения. Коми научный центр Уро РАН
ЛИТЕРАТУРА 1. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля.- М.: Наука, 1969, гл.2, §3. 2. Гельфанд И.М. Центр инфинитезимального группового кольца.- Математ. сб., 1950, т.26(68), № 1, с. 103- -112. 3. Гр омов Н.А. Предельные переходы в пространствах постоянной кривизны.- Сыктывкар, 1978.- 25 с. (Сер. препринтов "'Науч. доклЛДАН СССР, Коми фил.; Вып.37). 4. Громов Н.А. Механика в расслоенных мирах с кри - визной.- Сыктывкар, 1979.- 24 с. (Сер. препринтов "Науч, докл."/ АН СССР, Коми фил.; Вып.51). 5. Гюрши Ф. Введение в теорию групп.- В сб.: Теория групп и элементарные частицы.-М.: Мир, 1967, с. 57-113. 67 Дайсон Ф.Дж. Упущенные возможности.- Успехи матем. наук, 1980, т.35, вып.1(211), с. 171—191. 7. Зайцев Г.А. Алгебраические проблемы математичес - кой и теоретической физики.-М.: Наука, 197 4. 8. Клиффорд В.К. Здравый смысл точных наук. М., 1910. 9. Пименов Р.И. Алгебра флагтензоров.- Вестник ЛГУ, 1964, № 13, вып.З, с. 150-152. 10. Розенфельд Б.А., Карпова Л.М. Флаговые группы и сжатие групп Ли.- Труды сем. по вект. и тенз. анализу при МГУ, 1966, вып.13, с. 168-202. 11 В а с г у Н Е е V у Е е Ь 1 о п <1] М. Роззс Ь 1е к! петас 1 се ) Маг! И:у.ч 1968,, V 9„ №10,- р 1605 1614. 12 О) е г о т Д - К В и Ь о 1 в ] - 6. Нооке'з зуттесНез ап<4 попг е!ас 1VI .зс 1 с созто!о^1 са1 кс петас.Есз - Киоуо С1 т 1972 х.9В„ р 351- 376 13 ЬетуТеЫоп(1| М СаН 1е1 у г оир ап с! Са111еап 1 пуа ■ г 1 апее. ■■ I п Ьоок 6г оир г Неогу ап! 1сз аррНсассопз V. 2, Ес1. Е М ЕоеЫ \с\с Уогк ЕопЗоп АсаЗет! с Ргезз,, 1971 р 221 299 14. Ьеуу: Ее 1 о п <1 ] М Ипе поиУеПе И пн С е поп г е1ас1 VI з се 1и ,^гоир 1е Роспсаге. Апп- I пзс. Н Роспсаге' 1965,у,АЗ,, р Г 12 Коми научный центр Уро РАН
СОДЕРЖАНИЕ Введение ...................................................... 3 §1. Линейные группы в расслоенных пространствах ............................................ 3 §2. Преобразования операторов Казимира ........................................... 4 §3. Операторы Казимира групп движений 4-мерных ППК . ................................ 6 Заключение ................................................... 8 Литература ..... ................................ 9 Коми научный центр Уро РАН
Николай Алексеевич Громов ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ И ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА ГРУПП ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ Редактор Ю.А.Кочев Техн.редактор М.А.Сазанская Корректор Т.В.Цветкова Подписано в печать 18/У-1.98.1 г. ЦО 0683. Формат 60x90 1/16. Бум. типографская № 1. Печ.л. 0,75. Уч.-изд.л.0,3 • Тираж 350. Заказ № 172. Цена 5 коп. Ротапринт Коми филиала АН СССР, г.Сыктывкар, ул. Коммунистическая, 26.
5 к
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=