ОР/сб Н.А. ГРОМОВ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
'7/7 г- / и
Академия наук СССР Коми филиал Серия препринтов "Научные доклады" Выпуск 37 Н„ А» Громов ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ Доклад на заседании Президиума Коми филиал АН СССР 20 июля 1978 г. Л ЗУ" Сыктывкар 1978
УДК 513.015: 530.1 055 (02) 2 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ. Гро мо в Н. А. Серия препринтов "Научные доклады". Коми филиал АН СССР, 1978, вып.37, 25 с. . Приводятся явные выражения для движений, генераторов и структурных постоянных алгебры Ли произвольного п-мерного пространства постоянной кривизны (ППК) в именованных и вещественных бельтрамиевых координатах. Исследованы все возможные предельные переходы между группами движений и их лиевыми алгебрами ППК. Найдены законы преобразований движений, генераторов к структурных постоянных при таких предельных переходах. Кратко обсуждаются преимущества (формулировки физических теорий в ППК в именованных координатах. ШЖ 513.015: 530.1 055 (02) 2 ЫпИ ТгапзШопз 1п Зраеез оГ СопзЬапЬ СигуаЪиге. Оготоу П.А. РгергШ ЗегХез "Зс1еп1Ш1с Рарегз", ЫЗЗП, АсаНету оХ ЗсПепсез Кот! Згапсп, 1973, 1ззие 37, 25 рр. Т11е Гогши1ае Гог тоГЗопз, депега’Ьогз апй з1гис1ига1 оопз'ЬапЪз (ЗС) оХ Ые а1ееЪга оГ п-В1тепз1опа1 зрасе оГ сопв1;ап1; сигуаСиге ап сопсгеЬе апй геа1 Ве11гаш1 соогНИ- паЪе зузХетз аге сауеп. ТПеге Науе Ъееп ГпуезЫдаЬеП ИиН ЪгапзШопз ЪеХи/ееп сгоирз оГ тоййоп апй ХЬейг Ые а1/;еЪ- газ зрасез оГ сопз'Ьап'Ь сигуа1иге. ТНе 1гапзГогта1;1опз оГ поНопэ, 2епега1огз> апй ЗС ипйег ЪНезе 'ЬгапзЛ'Нопз аге аГзсоуегеа. ТЬе айуапСгасез о Г рЪуз1са1 ГЬеогу сопНгисНоп ап сопсхе1;е соогйГпа-Ъе зузГетз аге ЪгйеГ1у дйзсиззей. Редколлегия Ы.П.Рощевский (отв. редактор), Е.П.Калинин (секретарь), И.В.Забоева, В.П.Подоплелов, Н.Н.Рочев, МВ.Фишман. © Коми филиал АН СССР, 1978 Коми научный центр Уро РАН
ВВЕДЕНИЕ Известно,что имеется 3 пространств размерности н , допускающих максимальную группу движений, - пространств постоянной кривизны [?] . Аксиоматика этих пространств дана в работе [3]. Являясь наиболее простым частным случаем римановых и псевдоримановых пространств, широко используемых в современных физических теориях, а также частным случаем полуримановых пространств, используемых в вариантах единых теорий поля (см ,например, [03 ),пространства постоянной кривизны интересны тем, что они максимально однородны, т.е. допускают группу движений наибольшей размерности пи1Н)/2. и, следовательно, максимальное число зако - нов сохранения для свободной физической системы, движущейся в этих пространствах. Обилие пространств постоянной кривизны (например, имеется 81 четырехмерное пространстве постоянной кривизны, 55 из которых неизоморфны) создает определенные трудности при их (фактическом описании. В настоящей работе исследуются переходы между пространствами постоянной кривизны. Мы рассматриваем группы движений этих пространств, которые задаются как посредством конечных преобразований,так и с .помощью инфинитезимальных операторов (генераторов), причем и те и другие выражаются явными Формулами в бельтрамиевой системе координат. Для тего,чтобы показать, что предельные переходы не зависят ст выбора системы координат в пространстве постоянной кривизны, мы рассматриваем алгебру ли группы движений, задавав- - мую структурными постоянными, и исследуем предельные переходы в множестве лиевых алгебр. Отталкиваясь от именованных движений, генераторов и структурных постоянных алгебры Ли произвольного н- мерного пространства постоянной кривизны, мы получим выражения - 3 - Коми научный центр Уро РАН
для вещественных движений, генераторов и структурных пос - тоянных произвольного к-мерного (К4П ) пространства постоянной кривизны и (теоре-а I) найде- преобразования (2.8-11), осуществляющие переход от именованных величин, к вещественны-. Далее покажем, что для нерасслоенных п- -ерных пространств постоянной кривизны имеются обратные преобразования (3.1-3), переводящие вещественные величины в и-енованные (теореыа 2). Переход от п-ыерного нерасслоенного пространства к произвольноиу л-лерно-у описывается в теореие 3. В случае двух нерасслоенных, а также одинаково расслоенных пространств существуют взаи-но однозначные преобразования (теорешы 4,5). Мы покажем(теоре-а б),что от (к,К21к г )-расслоенного пространства . постоянной кривизны можно перейти только к такому(^гп1,т21 ^..^рррасслеенно-у пространству, у которого набор чисел т1,тг,...т^^ содержит все числа к,к2,...,*г • Доказанные теоремы иллюстрируются на приыере дву-ерных пространств постоянной кривизны. Автор глубоко благодарен свое-у научно-у руководителю Р.И.Пи-енову за ыногочисленные плодотворные обсуждения и поддержку, а также руководителю Ивановского -эжиннтитутско- го сеиинара по -ате-атической и теоретической физике проф. Г.А.Зайцеву и все- участника- этого се-инара за полезное обсуждение работы. Коми научный центр Уро РАН
§1.ДВИЖЕНИЯ, ГЕНЕРАТОРЫ И СТРУКТУРНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ В ИМЕНОВАННЫХ КООРДИНАТАХ Пространство постоянной кривизны, которое характеризуется набором п постулатов эквидистантности и К-однородности, обозначим ■> )и) (подробности и терминологию см. в [3] ). Величины принимают значения 1 , I при л(-1 = К, Ш* ,соответственно,так что бельтрамие- ва координата есть именованная(т.е.мнимая,дуальная,мни - мо-дуальная и т.п.величина Д (1.1) = , «='.2,-,п, 1= 1 “ ,Л Ь 2 где Д -вещественная величина. Здесь I? = 0,где р -целое число, ,а !р=Ыб’ есть чисто дуальное число (см.,например §1,гл.5, [5] ; [8] ),причем ,если ррл .Функции от чисто дуальных величин определяются посредством разложения в ряд. В частности -( , мп Величины Йл, А = 7,2,.п(п+1)/2 -параметры, характеризующие движения в 5 (],, «упорядочим следующим образом в качестве первых п величин Д возьмем параметры переноса вдоль бельтрамиевых координатных осей Х1, ЭС2 , ...,Х„ , аз остальные и(л— Г)/2 величин йА -параметры вращения в дву мерных плоскостях В результате получаем набор именованных параметров видя < - < (Ъ , (=,ч+1 , где |И=0,1,...,п-1 , = п , ах -веществ- шое число и Коми научный центр Уро РАН
При этом значению =0 соответствуют параметры сдвигов Перенос вдоль бельтрамиевой координатной оси Х^ на расстояние , в пространстве 5(ь,...,р .записанный с использованием именованных координат и параметров, имеет вид [2] Х^ — 1 + Щ Х< (1.5) где =1,2,...,П, .Вращение в двумерной плоскости {Х^Х,»} на именованный угол , X = (рМ) , записывается в виде = х/исоо а, + хг-япаА $ =-хг хёиаА+хгсмаА =а?к , ) где К=1,2,...,Л , Д1=1,2,...,П-1 ', ^=^1,^2,...^ Преобразования (1.5) и(1.б) образуют группу движений 6(5). Введем для движений обозначение ОС7 = /(?,(!,), (1.7) где X =(Х1 , Хг ,.•., Х„ ), ,.• •, ). Генераторы в именованных координатах определим формулой - б - > Коми научный центр Уро РАН
где Х=1,2,...,И1 П1 + '1)/2.Гннеаттоыы конечных переносов(1.5) находятся тривиально и оказываются равными Ау = - Д ~ 2Х1„ (1.5) где 'О =1,2,...,П ,а генераторы конечных вращений (1.6) равны ХА - ах\ (1Л0) где Х=( , X ).Структурные постоянные с^Хг алгебры Ли 4(5) группы движений &($) находятся из соотношений схА, ХЬдл; А=( /и, , V, ), л,=( , А ), [=1,2,3, которые находятся (1.П) . . ) из (1.4), 'ч Сопоставим числам значения и с , тогда С>А = I с*л=-1 э Ы.У, Л-^ М'/МХ алгебры Ли М&Ак^ме ) (1.12) I < > ' I Остальные структурные постоянные связанных с описанными выше свойством антисимметричности по двум нижним индексам, равно нулю. §2. ДВИЖЕНИЯ, ГЕНЕРАТОРЫ И СТРУКТУРНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ В ВЕЩЕСТВЕННЫХ (НЕИМЕНОВАННЫХ) КООРДИНАТАХ Именованные координаты и параметры, введенные в первом параграфа, являются довольно экзотическими.Обычно координаты и параметры рассматривают как вещественные(неименован- ные) величины. Пространства постоянной кривизны можно описывать посредством как тех, так и других координат. Если используются вещественные координаты, то пространство постоянной кривизны,а также характеризующие его величины мы будем отличать звездочкой, наппеиер„е(^|,..1^,е, Х и т.п. Для того,чтобы найти выражения для движений простран - - 7 - Коми научный центр Уро РАН
ства постоянной кривизны . . . . . . . . Д ) в вещественных координатах, подставим в (1.5) и (1.6) формулы (1.2-3). В результате для переноса вдоль вещественной координатной оси . на вещественное расстояние СЦ , Л =(0,^) получим выражение < Г х;' = й ~й 1 + ад, (2.1) к '■ для вращения а** »л==/М)- к X, =- 1 + ахПь2 № в плоскости на вещественный угол выражение Х*'=Х* , к=<,2,...,п , . ч и _•( В формулу (2.2) входит множитель (^Г1Д) » в т0 время как деление на чисто дуальное число,не определено. Покажем,что тем не менее выражение (2.2) осмысленно.Пусть какое-то из ,входящее 4 чисто дельному МП ДЯ=ЙД> входит как в числитель V .получаем формулу числу ■I I и в в так произведение тогда соэ , равно » (2.2) чисто дуальное число и в знаменатель.Сокращая на Коми научный центр Уро РАН
не содержащую неопределенных выражений. Генераторы ХА в вещественных координатах определим формулой К=1 где - движения в вещественных координатах.Из (2.1) находим генераторы вещественных переносов а из (2.2) - генераторы вращений 2. Ла=_1гп;+(( где /и =1,2,...,Л-1 , =^+1 ,^ + 2 Структурные постоянные САДг алгебры Ли /4(5) жений в вещественных координатах определяются из соотноше ний -у* (2.6) ,Л=(^) группы дви * &.Т) \ 1 и оказываются равными Коми научный центр Уро РАН
Остальные структурные постоянные, кроме связанных с опи - санными в (2.8) свойством антисимметричности по двум нижним индексам, равны нулю. Пусть Т есть операция подстановки вида: У’Г* означает А* Г^е что что вместо ЭСК следует подставить значение ; М а У - операция подстановки вида:У йА означает, вместо нужно подставить ЛА I | Ь ,где Л =(м Имеет место следующая теорема. ' ' Теорема I. Если для произвольного пространства янной кривизны 5 (], ,..., движения ,генераторы и структурные I то вещественные движения Г .генераторы ные постоянные сААг этого прострё&тва находятся зованиями: . ). посто- ) известны именованные постоянныесД, ( и структур- преобраКоми научный центр Уро РАН
_ рА, Г~1 /I,' К Смг-Ч,хг[1г1, 1= '1,2,3 (2.11) где К,') =1,2,...,П , \\ =1,2,..., П(П + 11/2. Доказательство тривиально.Возьмем явные выражения (1.5-10), (1.12) и преобразуем согласно (2.9-11), получим (2.2-3), (2.5-6) и (2.8). ЗАМЕЧАНИЕ. Поскольку движения в пространстве постоян - ной кривизны 5 ((, ..... к ) в именованных координатах имеют в точности такой же вид, что и движения в сферическом пространстве 5(1,I1|..,I) размерности П , то пре - образования (2.9-11) можно также рассматривать как пере - ход от движений, генераторов и структурных постоянных сферического пространства ' (I, I,..., I) к движениям, генераторам и стр^5^Н^'Г.У]^1ы^м постоянным произвольного прост - ранства постоянной кривизны 3 ( р , Х выраженным через вещественные бельтрамиевы координаты. Обратные преобразования от вещественных координат к именованным- для произвольного пространства постоянной кривизны $ (р (..., ]п ) существуют. вообще говоря. не всегда. Действительно, если два числа Ь = !, и '' = , 1<к*П , то из (1.1) находим Хк = X* V, ^0,. ,* где \ Ж* 0Д, , т.е. получаем пространство размер - ности К-7 < (1 . Естественно, что из формул в пространстве размерности к-1 получить формулы в пространстве большей размерности II невозможно. В дальнейшем мы будем рассматривать пространства пос - тоянной кривизны одинаковой размерности п . В терминах чисел : это означает, что никакие два или более чисел р , ,..., не равны одному и тому же чисто дуальному числу ,- ,т.е., если Ь , = Гл, и Ь = Ц, тс V Кг (К| * Таким образом, все чисто дуальные числа ',, 14 р$ п , различны. Однако и в этом случае переход от вещественных координат к именованным не всегда возможен. Рассмотрим, - И - Коми научный центр Уро РАН
например, $(1,1)- собственно евклидово пространство. Генератор переноса вдоль бельтрамиевой координатной оси X, в именованных координатах X, = '!’’■?, , Х2_=Х*Х записывается в виде = - \ч1+хтг) зх, ~хд\|гл V а 3 веще " ственных координатах X* , X? равен X* = - Переходя от X, к X, , получаем Х1 = " , что не совпадает с X . В некоторых случаях оказывается возмож ■- ным установить взаимно однозначное -соответствие между выражениями движений, генераторов и структурных постоянных в вещественных и имнованных координатах.Исследуем эту связь подробнее. §3. НЕРАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА В этом параграфе мы рассмотрим класс нерасслоенных пространств постоянной кривизны. Определение I. Пространство постоянной кривизны называем нерасслоенным , если Определим операцию подстановки^ так:тХк означает, К что вместо X* нужно подставить Х./уПс.’). Операцию Мг подстановки 4х определим следующим образом: Т' 'а\ нужно подставить где означает, что вместо А = (ум, 9 ). Для нерасслоенных пространств справедлива теорема. Теорема 2. Если для произвольного нерасслоенного пространства постоянной кривизны, О ( Ь , ]2 ) известны вещественные движения , генераторы Х^ и структурные постоянные, ,то именованные движе - ния I , генераторы дА и структурные постоянные С^Д' этого пространства находятся преобразованиями: - 12 Коми научный центр Уро РАН
(3.2) (3.3) где К = 1,2,...,П , X, \ .■= 12!.........П (п V I)/ 2. Доказательство тривиально: возьмем явные выражения (2.2-3), (2.5-6) и (2.8) и преобразуем согласно (3.1-3), в результате получим (1.5-10), (1.12). Поскольку ни одно , К П , не равно чисто дуальному числу, то неопределенных выражений при таком переходе не встретится С учетом теоремы I получаем следующее следствие. СЛЕДСТВИЕ. Для произвольного нерасслоенного пространства постоянной кривизны 8 (П , , ...,н ) преобра - зования (2.9-П) и (3.1-3) осуществляют взаимно однозначное соответствие .между движениями, генераторами и струк - турными постоянными, выраженными через вещественные и име нованные координаты. ЗАМЕЧАЙ®. Как следует из замечания к теореме I, фор - мулы (2,9-11) и (3.1-5) можно рассматривать как преобразования, осуществлюющие взаимно однозначное соответствие между движениями, генераторами и стру•. урн постоянными П -мерного сферического пространства >5(I, 1,...,1) и соотвссттвущщими величинами произвольного нерасслоенного> пространства 5(0 , ,...,,п ), выраженными через вещественные координаты. . О:;.еделнм отображение : 5 1), где 5 - произвольное нерасслоенное прстранстто/ 5*‘ 1 ~ - 13 - Коми научный центр Уро РАН
- произвольное пространство постоянной кривизны,формулой к Ч? /‘У'^~_ <у* Н хк — хк (3.4) 5 , формулой . (3,5) а отображение ■ 8 Оба эти отображения осмыслены, так как ни одно из й , ^■=1,2,...,1'7 , не равно чисто дуальному числу.Важность класса нерасслоенных пространств, с точки зрения предель - ных переходов, можно усмотреть из следующих теорем. Теорема 3. Если для произвольного нерасслоенного пространстве пнытоднной кривизны Ы )п ) изввСТНЫ вещественные движения , , , генераторы ЛА и ^стру^олурнь^ постоянные с^д ,то вещественные движения , ,генераторы Хд и структурные постоянные Сд Зд произвольного пространства ,постоянной кривизны 5 (Т, ) находятся преобразованиями: " л- (3.6) <..Ж) (3.7) * г р* “Ч __ р*Аз ^А,Аг ^А,А2 (3.8) 14 - Коми научный центр Уро РАН
где К =1,2........ П , = 1,2,...,П(П1))/2. Доказательство. Согласно замечанию к теореме / преобразования (3.1-3) переводят движении,генераторы и структурные постоянные произвольного нерасслоенного пространства 5 ( г 4 ) в соответсвуюющие П-мерногс сферического пространства $(1,1...,1). а согласно замечанию к теореме I преобразования типа (2.9-П) переводят эти величины в ^ответваю^ие вещественные величины произвольного пространства 3 (^ ....)„) Преобразования (3.6-8) есть композиция преобразований типа (2.9-11) и (3.1-3). Обратные отображения 34,...,р—4'(}, р) (3.9) - V: 5(р.4)^Дп...,р ' I 5 тоже -1 осмысленны , определены. вообще говоря, не всегда. Но если нерасслоенное пространство, то 4 и 4 поскольку все * . 4=1,2,...,П не равны чисто дуальному числу. В этом случае справедлива теорема. Теорема 4. Если для произвольного^нерасслоенного пространства постоянной кривизны^ 5*(Т-1 ’•••’ /п~* ) известны вещественные . движения * * , генераторы * и структурные постоянные ,то вещественные движения /* .генераторы Хл и структурные постоянное СЦ произвольного нерасслоенного пространства $ (). ) 01 о находятся преобразованиями * . 15 - Коми научный центр Уро РАН
где К =1,2,...Л , А , X[ =1,2,..., П(п + 1)/2. Доказательство аналогично доказательству теоремы 3 с очевидными модификациями. С учетом теоремы 3 имеем СЛЕДСТВИЕ, Для произвольных нерасслоенных пространств постоянной кривизны ) и ,Х ( Г ..) ) преобразования (3.6-8) и (3.11~13) осуществляют взаимно однозначное соответствие между вещественными движениями, генераторами и структурными постоянными этих пространств. §4. РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Исследуем переходы в . классе расслоенных пространств постоянной кривизны (т.е. таких пространств, у которых найдется хотя бы одно . где К =1,2,...,П ). При этом мы будем рассматривать только пространства одинаковой размерности п ,т.е. считать все дуальные числа , 1 р<5 П 2 различными. 'Определение;?. Щюстранство постоянной кривизны Яир,. у,,? называем (К, , К, ....Кг ) - расслоенным .если X - I, . Х=гг > •••» Е = 4 » где СМКП . ® Определение 3. Пространство .... ) называем Т -р ас вольные 7 величин ь . К=1,2«„... ' К - 16 - 1 КлКЛ . . .< К г_ (<. К , 7-1 постоянной! кривизны слоенным .если произП равны чисто дуальным Коми научный центр Уро РАН
числам То , р=1,2,...,Д . Например, (2,4) - расслоенное пространство - это пространство, у которого = = Ч , »Ъ» ^5 » »••• .. ,,^п #г . Оно является также примером 2 - расслоенного. О-расслоенное пространство постоянной кривизны есть не - расслоенное пространство. Среди^п^остранств постоянной кривизны размерностип имеется 2 с ( к, , К2 ,..«г )-рассло енных-и С„2иг г-расслоенных пространств, которые при г=0,1,...,п исчерпывают все пространства постоянной кривизны размерности п . Действительно, (4.1) Как следует из теоремы I, для любого расслоенного пространства существует однозначный переход от именованных коорди - нат к вещественным, но обратное преобразование не всегда приводит к правильным выражениям для движений, генераторов и структурных постоянных алгебры Ли. Рассмотрим теперь пе - реходы между расслоенными пространствами постоянной кривизны с вещественными координатами и параметрами. Теорема 5. Для любых двух (к, , кг ,.... )-расслоенных пространств постоянной кривизны 5 ( ь ,..., )и ) и $*( ) преобразования (3.6-8), (3.11-13) осуществляют взаимно однозначное соответствие между вещественными движениями,генераторами и структурными постоянными этих пространств. Доказательство. Для (к, , )-расслоенных пространств ]( и равны одному и тому же чисто дуальному числу "при одинаковых номерах . Поэтому всевозможные г произведения вида.П^)/^) , а = -I,I,входящие в (3.6-8) и (3.11-13), не содержат чисто дуальных чисел. Но это означает, что преобразования (3.6-8) и (3.1’1-13) не содержат неопределенных выражений. Непосредственно проверяется , что при этих преобразованиях выражения для движений, генераторов и структурных постоянных одного пространства переходят в выражения для соответствующих величин друго- -17Коми научный центр Уро РАН
5( I , I ). Генератор переноса вдоль оси _ V* О » в пространстве го пространства. В классе г -расслоенных пространств, вообще говоря, не существует преобразований, связывающих произвольные пространства 8 ( ,..., )и 5 (^5 ••••»^и). ДдЙ — ствительно, рассмотрим два Г-расслоенных пространства : собственно евклидово <8 ( I ,1) и полусферическое (полу- эллиптическое) /*(!."*. ,______ X, в пространстве 3( 1 ,1) имеет вид у = - преобрэзуя его согласно (3.7), получаем что не совпадает с генератором переноса вдоль оси X* 1 ), равном = Переходы от г -^рас:<зл^о^<^1^^ых пространств постоянной кривизны к (-расслоенным, при , описывается следующей теоремой. . Теорема 6. Если для произвольного (К, , к2 ,..., Кг ) - -расслоенного пространства постоянной кривизны 8 (]ъ...,|п ) известны вещественные движения, генераторы и структурные постоянные, то преобразования (3.6-8) переводят их в соот- вдтсвующид вещественные величины (т-! , Г^г,х..,т^^)р^г^(^сло- енного пространства постоянной кривизны $*( ,.Ь.,Д ), где г <, ,п , и набор чисел ( К! , Кг ,..., Кг ) содержится в наборе (т, гпг,..., ). Доказательство. Набор чисел ( Кт , К2 ,..., кг ) содержится в таборе (т.(,ег,...,еъ), поэтому всевозможные ою> из(3.4-8) не содержат деления произведения вида , 2Ю на чисто дуальные числа .следовательно преобразования (3.6-8) не содержат неопределенных выражений. Прробразо- вания (3.6-8), примененные к движениям, генераторам и стр^ук^ч^2^]^1ым постоянным пространства 5(^ ,...,^и )» приводят к правильным выражениям для соотвттсМзующих величин пространства »•••» )» тчак как множество обращающихся в нуль произведений вида ° Т.1 содржжит в (.р, Т 18 - Коми научный центр Уро РАН
себе множество обращающихся в нуль произведений вида к • ратные преобразования от (т, ,т2 I т с ^расслоенного пространства к (к, , к2 ,...,? )-расслоенному, вообще говоря, приводят к неправильным выражениям для движений , генераторов и структурных постоянных алгебры Ли. Рассмотрим, например, собственно евклидово пространство 8(1,,1 ) и полуевклидово 2(1, 1 ).Генератор вращения в плоскости {х*, Х*У равен Хз = - X* ур , переходя по формуле (3.12) к пространству о( ), получаем что не совпадает с генератором вращения в плоскости (Х*,!^, равном Пусть теперь набор ( К, , Кг Кг ) не содержится в наборе ( т,, т2, . . ., тр, скажем, <т,, а ( к,. , к3 к7) содержится в (гл., , тг,..., тр. Тогда для генератора переноса вдоль оси в пространстве 5(^ »•••» ) нахо - ДИР У . - ~ переходя по формуле (3.7) к НрОСтраству , в то время как генератор переноса в пространстве 8*( Т й ) вдоль оси равен §5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕЖДУ В ДВУМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ Для иллюстрации теорем рассмотрим перехода между дву - мерными пространствами постоянной кривизны. Мы будем рассматривать не все возможные предельные переходы, а лишь те, которые изображены на диаграмме ГС х. Коми научный центр Уро РАН
т 1, т2 5(1,1) * 5 а,1г) 1тЗ Ь6 ’ * 5(1,1) ——- 5(1,,0 М Л5 5(1,0 * 5(г,,1) Стрелки показывают, в какую сторону возможен переход , а обозначения т2, тЗ и т.д. около стрелок - какая теорема описывает этот переход. Мы будем рассматривать только вещественные генераторы, но звездочку в этом параграфе пи - сать не будем. Переход от сферического пространства 0(1,1) к пространству де Ситтера 5(1 , I ) эквивалентен переходу от именованных координат к вещественным в пространстве де Ситтера и является иллюстрацией теорем I и 2. Из (2.5) и (2.6) находим генераторы движений пространства де Ситтера в вещественных координатах (первая координатная ось Х*=Ф , вторая - Хг= X ) ’(1й , -1НХг>Д- , (5.1) Х3 = -ХЯ‘*аД- . Пространство де Ситтера 5 ( I , I ) и антидеситтерово пространство 5(I, I ) являются нерасслоенными и пе - реход между ними описывается теоремой 4. Воспользовавшись (3.7), найдем из (5.1) генераторы в антидеситтеровом пространстве 8(1, I ) в вещественных координатах (5.2) Коми научный центр Уро РАН
Теорема 3 разрешает перейти от пространства де Ситтера к расслоенному пространству $( I , 1 ) - пространству Миикооского. Используя преобразования (3.7), находим из (5.1) генераторы в пространстве Миннквского х,- - И , (5.3) Между двумя одинаково расслоенными пространствами - соб - ственно евклидовым 5( ,1) и пространством Мииеоюского |$> ( I, , I ) - по теореме 5 существуют взаимно одно - значные преобразования. Генераторы движений в собственно евклидовом пространстве находим из (5.3) при помощи пре - образований (3.7), они равны (5.4) Генераторы движений в пространстве о( I, , Ц ) - пространстве Галилея - легко находятся, согласно теореме 6 , из генераторов (5.3) в пространстве Минкк:вского и оказываются равными х,-- И (5.5) Генераторы движений в полулобачевском пространстве 5 ( I , ) можно, используя (3.7), получить из ге - нераторов пространства де Ситтера (5.1) (5.6) 1 Коми научный центр Уро РАН
Если теперь от полулобачевского пространства 3( I , Ц перейти снова к прространству Галилея 5 ( Г , т.е. замкнуть диаграмму, то получим в точности те же формулы (5.5). §6. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ В работе [б] предложен метод, позволяющий переходить от одних групп Ли к некотороым другим группам Ли и использующий чисто дуальные числа. Нетрудно убедиться, что в случае пространств постоянной кривизны этот метод позволяет от группы движений пространства 8(Д , Д ) перейти к группе движений пространства , 1Ь )» причем ЛипЗ =С , если |, =1, и скта <п “,если хотя бы одно из чисел Д, Д ,..( равно чисто дуальному чис - лу < , . Если в качестве исходного пространства 8 возьмем сферическое пространство 8(1,1,...,1), то предельный переход работы |_б] позволяет перейти только к собст - венно евклидову пространству Кп= . 8 ( !, ,1,...,1), в то время как согласно теореме 3 преобразования (3.6-8) описывают переход к группе движений произвольного пространства постоянной кривизны. Поэтому нам представляется, что преобразования (3.6-8), (3.11-13) более удобны при изучении групп движений пространств постоянной кривизны, чем предельные переходы [б] . В работах [I] , [2] в связи с проблемой о совместном рассмотрении множества предельных геометрий и предельных физических теорий предложены предельные переходы между алгебрами Ли, основанные н^етоде размерных структур - ных постоянных. Введение размерных структурных постоянных в случае пространств постоянной кривизны по существу эквивалентно рассмотрению вещественных структурных постоянных (2.8). Однако рассмотреть все возможные случаи , т.е. получить лиевы алгебры всех пространств постоянной кри - - 22 Коми научный центр Уро РАН
визны, в методе размерных структурных постоянных довольно сложно, особенно если размерность пространств велика. Используя же именованные числа, мы сразу рассматриваем все пространства постоянной кривизны произвольной размерности о . Поэтому физические теории в пространствах постоянной . кривизны следует формулировать в именованных координатах. Такая формулировка позволит без труда перейти к физической теории в любом пространстве постоянной кривизны той же или меньшей размерности. Таким образом, использование именованных чисел позволяет одновременно рассматривать все множество физических теорий, характеризуемых теми же группами, что и группы движений пространств постоянной кривизны. Кроме того,переходы между группами движений и их ал - гебрами Ли пространств постоянной кривизны, с точки зрения приложений к•физике, интересны тем, что, зная свойства физических систем, инвариантные относительно группы движений ( например, законы сохранения), в одном пространстве 3( »|г »•••»]« X можно получить инвариантные относительно группы движений свойства.физических систем в другом пространстве 8 ( ). Мы намерены обсудить эти вопросы в отдельной работе. Коми научный центр Уро РАН
ЛИТЕРАТУРА 1. Зайцев Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики. М, "Наука", 197-4. 2. Зайцев Г. А. Проблема инвариантно-группового язучеаия множеств предельных геометрий и специальные подалгебры Ли. - 3 кн.: Первая Всесоюз. геометрическая конф. Тезисы и аннотации обзорных докл. и кратких сообщ.Киев, 1962. 3. П и м е н о в Р. И. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой .движений. - "Литовский мат. сборник", 1965, Т.5,’? 3, С.457-486. 4. П и м е н о в Р. И. Полуриманова геометрия и единые теории. - В кн.: Проблемы гравитации. Тезисы докл. Второй сов. гравитационной конф). Тбилиси, 1965,с.Ш-П3. 5. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии.М, ГИТТЛ, 1955. 6. Р о . з енфельд Б. А. , К а р п о в а Л. М, Предельные группы Ли. - В кн.:Проективные метрики. Ко - ломна, 1965, с.8 - 22. (Учен. зап. Коломенского пед. ин-та, Т 8 ). 7. Я г л о м И. м, Розен фел ьд Б. А, Яс и нс к а я Е. У. Проективные метрики. -"Успехи мат.наук", 896-4, т.18, вып.:5, С.51-НЗ. 8. Я г л о м И. М. Комплексные числа. Ы,Ф^<^зм^а^1^1^;з, 1963. Коми научный центр Уро РАН
СОДЕРЖАНИЕ Стр. Введение .................................................................................. 3 § I. Движения, генераторы и структурные постоянные в именованных координатах .......................................... 5 § 2. Движения, генераторы и структурные постоянные в вещественных (неименованных) координатах ... 7 § 3. Нерасслоенные пространства ............................... 12 § 4. Расслоенные пространства .................................... 16 § 5. Предельные переходы в двумерных пространствах постоянной кривизны ....................................................... 19 § 6. Обсуждение результатов ...................... ................ 22 Литература .............................................................................. 24 Коми научный центр Уро РАН
Николай Алексеевич. Громов ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ ЦО 0737 Подписано в печать 12. У1. 1978, Формат 60X90 1/16. Типографская №1. Печ.л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,1. Тираж 500. Заказ № 211 Цена 8 кои. Ротапринт Коми филиала АН СССР, Сыктывкар, К о м мунистическая, 26.
8 к.
RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=