Громов Н.А. Контракции классических и квантовых групп

РОССИЙСКАЯ академия наук уральское отделение КОМИ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Н.А. ГРОМ' В КОНТРАКЦИИ КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ ГРУПП МОСКВА ФИЗМАТЛИТ® 2012

УДК 530.1, 512.81 ББК 22.31, 22.311 Г 87 Громов Н.А. Контракции классических и квантовых групп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 18ВЦ 978-5-9221-1398-4. Екатеринбург: РИО УрО РАН, 2012. 18ВЦ 978-5-7691-2325-2. Монография посвящена описанию метода контракций (предельных переходов) в применении к алгебраически структурам: клааатчраким группам Ли и алгебрам Ли ортогональной, унитарной и аимплрктичрской серий и их квантовым аналогам, алгебре Вирасоро, супералгебрам. В отличие от стандартного подхода Вигнера-!'неню. основанного на введении в группу 'а.лгебту) одного, или нескольких стремящихся к нулю параметров, используется альтернативный подход, связанный с иаа^Iедованием алгебраических структур над алгебрами с нильпотентными коммутативными образующими. Изучены многомерные контракции неприводимых представлений унитарных и ортогональных алгебр в базисе Гельфанда-Цетлина, представлений алгебры Вирасоро и классических супералгебр. В качестве приложения развитого подхода рассмотрены переходы между группами движений (и их алгебрами Ли) кинематик, т.е. моделей ^1Тоютта^^атва--вр<рмIени. а также предельный случаи стандартной элркето'.д^або>й модели, отвечающей контракции ее калибровочной группы, который позволил объяснить редкое взаимодействие нейтрино с веществом. Построены квантовые ортогональные, унитарные и симплектические группы Кэли-Клейна. Квантовые аналоги неполупростых алгебр получаются как двойственные объекты к квантовым группам, а также контракциями квантовых деформаций универсальных обертывающих алгебр для алгебр Ли. Подробно рассмотрены некоммутативные квантовые модели релятивистских и нерелятивистских кинематик. Монография охватывает основные области применения метода коиетакцтй и представляет ^„01^ для специалистов в области теории групп и алгебр Ли, а также для исследователей в обласеи физики, использующих тего)ет11ко- групповые методы. Уральское отделение РАН 18ВЫ 978-5-9221-1398-4 БИБЛИОТЕКА Коми научного центра УрО РАН © РИО УрО РАН, 2012 © ФИЗМАТЛИТ, 2012 © Н.А. Гротов, 2012 Коми научный центр Уро РАН

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловви.......................................................................................................... 9 Часть I. Контракции классических групп и супергрупп Глава 1. Группы и алгебры Кэли-Клейна................................................ 17 1.1. Дуальные числа и алгебра Пименооа............................................. 17 1.1.1. Дуалвньге числа (17). 1.1.2. Алгебра Пименова (18). 1.2. Ортогоналвньге группы и алгебры Кэли-Клойно................................ 20 1.2.1. Три фундаменталвные геометрии на прямой (20). 1.2.2. Девяти групп Кэли-Клейна (23). 1.2.3. Обобщение на высшие размерности (28). 1.3. Унитарные группы и алгебры Кэли-Кл)нно........................................ 31 1.3.1. Определение, генераторы, коммутаторы (31). 1.3.2. Унитарная группа 517(2;Д) (33). 1.3.3. Представления группы 517(2;Д) (34). 1.3.4. Унитарная группа 517(3; у) (39). 1.3.5. Инвариантные операторы (42). 1.4. Симплектические группы и алгебры Кч..)к^К.)нйоа.......................... 43 1.4.1. Определение, генераторы, коммутаторы (43). 1.4.2. Инвариантные операторы (44). 1.5. Классификация переходов между группаам.................................... 45 Глава 2. Модели пространсс-та-временн................................................... 48 2.1. Кинематические группы.......................................................................... 48 2.1.1. Кинематики как пространства постоянной кривизны (48). 2.2. Кинематики Кэрролла................................................................................ 50 2.3. Нерелятивистские кинематики................................................................ 55 Коми научный центр Уро РАН

4 Оглавление Гтеве 3. Представления алгебр Кэли-Клейна в базисе Гельфан- да-Цетлина......................................................................................................... 58 3.1. Представления улатнрлух алгебр ц(2;д) и 5гц(;д)..................... 58 3.1.1. Крлечлрмерлме леараердамме пиедсоавлелар алгебр «(2) и ««(2) (58). 3.1.2. Переход к пиедставлеларм алгебр ц(2;д) и ««(2;д) (59). 3.1.3. Крлтиакцар леараврдаммх представлений (61). 3.1.4. Алалатаческре аррдрлжелае леправрдаммх представлений (62). 3.2. Представления улатерлмх алгебр ц(3; д, Д).................................... 64 3.2.1. Опасалае представлений (64). 3.2.2. Крлтиакцар по аерерму паиаметиу (68). 3.2.3. Крлоиакцар по втрррму параметру (69). 3.2.4. Двммеилар срлоиасцар (72). 3.3. Представления улатерлмх алгебр «((^;Д............................................. 73 3.3.1. Оператору представления (73). 3.3.2. Спектр рператррре Казамаиа (76). 3.3.3. Возможные вараалту крлоиакцай леправр- дамух представлений (78). 3.4. Представления рртргрлатвлух елгеКо............................................. 79 3.4.1. Алгебра 5о(3;м) (79). 3.4.2. Алгебра трОТ;Ь) (81). 3.4.3. Крлтиакцаа представлений алгебры тр(Т;Ь) (84). 3.4.4. Алгебра 50^;.) (88). Гтеве 4. Элементы полуримановой геометрии........................................ 93 4.1. Герметраческре мрдетаррвалае физических еелиаиа........................ 93 4.2. Расслреллар пртурамалрва герметрар У^...................................... 95 4.2.1. Метрика и алвараалту (95). 4.2.2. Одинаковые пеипелдаку- трру к стою (97). 4.2.3. Геометрический смыст ледаагрлатвлух крмпрлелт метрического телзриа (98). 4.3. Пртурамалрвр пирстиалствр У^ д латвпртелтлума крррдалатама 100 4.4. Пртурамалрва герметрар 3У5 как пространство-времяэлкктричектав............................................................................................. 102 4.4.1. Определение пртурамалрва пирттиалттва 3У| (102). 4.4.2. Илоеипиеоацар пртуевктадрврй герметиар 3В,| как слаттачетсрй элекоирдаламака (103). 4.4.3. Пртурамалрвр пирттиалттвр 3У^ как перстранство-веелр-элестеачетовр (106). 4.4.4. Сравлелае д моделями типа Катуцу-Ктейла (107). 4.4.5. Заслючаоелвлые замечания (108). Гтеве 5. Градуированные контракции алгебры Вирасоро................. 109 5.1. Градуированные крлтиакцаа алгебр Ли и ли предстоалткла......... 109 5.2. Градуировка алгебры Ваиатрро................................................................ 110 5.3. Праврдамрств представлений алгебры Вира)тре............................. 111 5.4. 22-гиадуаиРваллуе крлтиакцаа алгебры Варасррр и лл представлений ................................................................................................................ 113 Коми научный центр Уро РАН

Оглавление 5 Глава 6. Геометрия аффинных корневых систем.................................. 117 6.1. Простые алгебры Ли и аффинные алгебры Каца-Мууд.................. 118 6.2. Вырожденные корневые сиссемы..................................................... 12° Глава 7. Контракции классических супералгебр и их представлений ..................................................................................................................... 127 7.1. Предварителвные з-ыеча-ия............................................................ 127 7.2. Ортосимплектические супералгебры о8р{т;]\2п;(Ц).......................... 128 7.2.1. Ортосимплектические супералгебра Овррт\2п) и супергруппа О5р(т|2п) (122). 7.2.2. Ортосимплектические супералгебры Кэли-Клейна 08р{т;]\2п;ш) (13°). 7.2.3. Пример: контракции супералгебры о«р(3\2) (131). 7.3. Унитарные супералгебры вЦ»т;]|пе)............................................. 132 7.3.1. Унитарная супералгебра «((п\п) (132). 7.3.2. Унитарные супералгебры Кэли-Клейна в1(т; у' \п;е) (133). 7.3.3. Пример: контракции алгебры з/(2\1) (134). 7.4. Операторы Казимниа................................................................................ 135 7.4.1. Операторы Казимира супералгебр в/((п\п) и о5рр(т'\п) (136). 7.4.2. Операторы Казимира супералгебры вЦ(п;у’\п;е) (136). 7.4.3. Операторы Казимира супералгебры 08р{т;]\2п;ш) (138). 7.5. Контракции представлений о«р(1|2)................................................ 138 7.5.1. Представления супералгебры о«р(1\2) (138). 7.5.2. Представления супералгебры о«р(1\2;у) (132). 7.5.3. Представления супералгебры Евклида (14°). 7.5.4. Представления супералгебры Галилея (141). Глава 8. Контракция электрослабой модели и взаимодействие нейтрино с веществом.................................................................................. 142 8.1. Стандартная элекеаослабая модель........................................................ 142 8.2. Электрослабая модель с контрактированной калибровочной группой 147 8.3. Описание физических систем и контракции групп............................. 15° 8.4. Редкое взаимодействие нейтрино с вещеестом............................... 151 Часть И. Контракции квантовых групп Глава 9. Квантовые ортогональные группы Кэли-Клейна.............. 157 2.1. Линейные преобразования образующих квантовых групп Ли и квантовых векторных просста-ссв.................................................. 157 2.2. Квантовые ортогональные группы в декартовых образующих.......... 161 2.2.1. Основные определения (161). 2.2.2. Квантовая группа ЗОд{3) в симплектических и декартовых образующих (165). 2.3. Квантовые группы Кэли-Клейна 5'Ог(Лг;У.................................... 168 Коми научный центр Уро РАН

6 Оглавление 9.3.1. Преобразование квантовой ортогоналвной группы в квантовую группу Кэли-Клейна (168). 9.3.2. Квантовые группь1 5ОД3Д) (170). 9.3.3. Квантовая группа Евклида Р°(2) (172). 9.3.4. Квантовая группа Нвютона Аг°(2) (173). 9.3.5. Квантовая группа Галилея О°(2) (174). 9.4. Квантовые группы евклидова типа ЗОДАГ и............................... 175 9.4.1. Переход к новому базису (175). 9.4.2. Контракция 1 1 = и (177). 9.4.3. Квантовые евклидовы группы Кэли-Клейна (178). 9.4.4. Квантовая группа _^г^(;2;7'2) евклидова типа (179). 9.5. Квантовые алгебры 8ог(АТ;ф) как двойственные к 5Ог(АТ;ф) .... 180 9.5.1. Определения (180). 9.5.2. Пример: 5ОД3Д) и 5оДЗ;у) (181). Глава 10. Квантовые ортогональные алгебры Кэли-Клейна во вращательном базисе ............................................................................. 184 10.1. Рекурсивный метод построения квантовой структуры евклидовых алгебр................................................................................................ 184 10.1.1. Классические евклидовы алгебры «о(Дг + 1;11) (184). 10.1.2. Квантовые евклидовы алгебры «оДЛ + 1; ц) (185). 10.2. Квантовые евклидовы алгебры Кэли-Кллйна..................................... 187 10.3. Разные сочетания контракций Кэли-Клейна и структуры алгебры Хопфа для алгебр «ог(3;ф; с) ................................................................ 188 10.3.1. Квантовые алгебры 5оД3;ф;Хщ) (188). 10.3.2. Квантовые алгебры «оД3;Да (189). 10.3.3. Квантовые алгебры 5оДЗ;ф; Х01) (191). 10.3.4. Квантовые алгебры 5оДЗ;ф; Х12) (191). 10.3.5. Квантовые алгебры Евклида йг(2) (192). 10.3.6. Квантовые алгебры Ньютона пД2) (192). 10.3.7. Квантовые алгебры Галилея д?(2) (193). 10.4. Квантовые алгебры Кэли-Клейна «оД4;ф; а................................. 194 10.4.1. Квантовые алгебры «оД4; Хоз, Хц) (194). 10.4.2. Квантовые алгебры 5оД4;у;Хоз,Х12) (195). 10.4.3. Квантовые алгебры «оД4;Да (196). 10.4.4. Квантовые алгебры 5оД4;ф; Хн, Х2з) (198). 10.4.5. Квантовые алгебры Пуанкаре рДЗ) (199). 10.5. Квантовые евклидовы алгебры Кэли-Клейна «оДАг + 1;ц,/;(т) . . 201 10.6. Квантовые деформации кинематических алгебр.................................. 202 10.6.1. Кгв-ш'т'олл-' аллебры Пуанкаре рДЗ + 1;Рз,Х;1 и Гглл- лея дДЗ + 1Рз,Р^1) (202). 10.6.2. Квантовые алгебры Пуанкаре рД3 + 1; 77, 71) и Галилея /а (3 + 1; 77, 71) (204). Глава 11. Квантовые группы Кэли-Клейпа 50, (Афф; <).............. 205 11.1.5ОДАг;Да в симплектическом базисе................................................ 205 11.1.1. Ортогональные группы Кэли-Клейна в симплектическом базисе (205). 11.1.2. С-мплект-чеек-е образующие (208). Коми научный центр Уро РАН

Оглавление 7 11.2. Квантовые группы 5Ог(Лг;ф;сг) в декартовых образующии............. 209 11.2.1. Формалвное определение (209). 11.2.2. Анализ структури алгебры Хопфа и условия (г,^)-нртнгнналвннсть (209). 11.3. Неизоморфные контрактированные квантовые группы..................... 212 11.4. Квантовые грушы 5'ОДЗ;у; а)......................................................... 214 11.4.1. Квантовые группы 5Ог(3;у';<т) (214). 11.4.2. Квантовые группы ЗОг(3-у; аг) (217). 11.5. Квантовые грушы 5Ог(4;ф;<т) и 5Ог(5;ф;а)..................................... 220 11.5.1. Квантовые группы ЗОДФфст) (220). 11.5.2. Квантовые группы 5Ог(5;ф;<т) (221). Глава 12. Квантовые унитарные группы Кэли-Клейна.................... 224 12.1. Квантовые группы 5Ад(Аг) и 31/д(Л")............................................. 224 12.2. Квантовые группы ЗЬд(2) и 311д(2................................................ 226 12.3. Квантовые группы ЗЬд(3) и 311д(3................................................ 227 12.4. Квантовые группы 5Ад(Аг;ф и 5Цд(Аг;ф).......................................... 229 12.5. Контракция квантовой унитарной группы 5Ц^(2^;;'11........................ 231 12.6. Контракции квантовой унитарной группы 5'Ц(((^;р,^р)................. 233 12.6.1. Контракция уф = и (236). 12.6.2. Контракция уф = 12 (237). 12.6.3. Двумерная контракция ф = ц,ф = ъч (238). 12.7. Изоморфизм квантовых алгебр 5иД2;у) и 8Ог(3;ф.......................... 240 12.7.1. Квантовая унитарная группа 5Цд(2) (240). 12.7.2. Алгебра 5г^1(!2;у) как двойственная к 5Сф(2;ф) (241). 12.7.3. Изоморфизм 5г^1(!2;у) и 5о„(3;ф) при разных сочетаниях схемы контракций Кэли-Клейна и структуры алгебры Хопфа (243). 12.7.4. Представления алгебры 5Цг(2;у'1) в базисе Гельфанда-Цетлица (245). Глава 13. Квантовые симплектические группы Кэли-КлеНна . . . 247 13.1. Квантовые симплектические группы и просстаассва..................... 247 13.2. Квантовые симплектические группы Кэли-Клеенн.......................... 249 13.2.1. Квантовая с-мплект-ческая группа 5р>„(2;ф) и квантовое сьмплектьческне пространство 8р^уф) (250). 13.2.2. Контрастированная квантовая группа 5р„(2;ц) и квантовое расслоенное пространство 8рр(и0 (254). 13.3. Разные комминации к ванстоьо с трункурр:! и с ххмы к онсраккин Кэли-Клейна для снмплектнческнх групп и проссрансс).............. 255 13.3.1. Квантовая снмплектнческая группа 5р>„(2;ф; а) и квантовое снмплектнческне пространство 8р(фф; а) (256) . 13.3.2. Квантовая снмплектнческая группа бру^уф; а) и квантовое пространство 8р4фф;<т) (261). 13.3.3. Кнытаактнанваыыая квантовая группа 5(,(2; гь от) и квантовое расслоенное пространство 8р((па) (263). Коми научный центр Уро РАН

Оглавление Глава 14. Квантовые аналоги пространств постоянной кривизны 265 14.1. Квантовые ортогоналвные группы и квантовые пространства КэлиКлейна ........................................................................................................ 265 14.2. Квантовые векторные пространства Кэли-Клейна О^(у';<т) и ортогоналвные сферы 8^(уа)............................................................................. 268 14.2.1. Перестановка сто = (1,2,3), множителв .7 = 7172 (269). 14.2.2. Перестановка а = (1,3,2), множителв .7 = 71 (271.. 14.2.3. Перестановка ст = (2, 1,3), множителв 7 = у'(у'2 (272). 14.3. Квантовые пространства О(;(7;<т) и 8®(7’;о^).................................... 273 14.3.1. Квантовые аналоги О^(;(у;<т) расслоенных пространств (274). 14.3.2. Квантовые деформации пространств постоянной кривизны 8^(у';<т) (276). Глава 15. Некоммутативные квантовые кинемаатик.......................... 279 15.1. Обоснование некоммутативности пространственно-временных координат............................................................................................................. 279 15.2. Квантовые пространства О5(У;<т............................................................... 280 15.3. Квантовые кинематики (анти) де Ситтера..................................... 282 15.4. Квантовые кинематики Минковского.................................................... 286 15.5. Квантовые кинематики Нвютона............................................................ 287 15.6. Квантовые кинематики Галилле............................................................ 288 15.7. Квантовые кинематики Кэррролл................................................... 288 Приложение А. Н-матрица квантовой группы 8Од(Г\Г) в декартовых образующих.............................................................................................. 292 Приложение Б. Антипод квантовой группы 5О„(ЛТ;7;<т) в декартовых образующих..................................................................................... 293 Приложение В. Соотношения -ортогональности квантовой группы 50, (АТ; 7;о) в декартовых образующии............................... 295 Список литеертуры.................................................................................... 300 Предметный указателл........................................................................................ 311 Коми научный центр Уро РАН

Предисловие Теоретико-групповые методы составляют неотъемлемую паств современной теоретической и математической физики. Достаточно напомнитв, что наиболее продвинутая теория фундаменталвных взаимодействий — стандартная электрослабая модели — является калибровочной теорией с калибровочной группой 5У(2) х У(1). В различных областях физики находят применения все типы классических групп: ортогональные, унитарные и симплектические, а также неоднородные группы, представляющие собой полупрямые произведения своих подгрупп. Группы Евклида, Лобачевского, Галилея, Лоренца, Пуанкаре, анти-де Ситтера лежат в основе пространственных и пространственновременных симметрий. Супергруппы и суперсимметричные модели в теории поля предсказывают существование суперсимметричных партнеров известных элементарных частиц. Квантовые деформации групп и алгебр Ли приводят к некоммутативным моделям пространства- времени (или кинематикам). Контракции групп Ли — это метод получения новых групп Ли из исходных. В стандартном подходе Вигнера-Иненю [164] процедура контракции состоит в введении в группу одного или нескольких параметров е таким образом, чтобы в пределе е —> 0 сохранялись групповая структура и размерность группы Ли, а групповое умножение изменялось. Хорошо известно, что проще изучать невырожденные структуры. Так, общую группу Ли можно представить в виде полупрямого произведения полупростой и разрешимой групп и свести проблему классификации групп Ли к классификации полупростых и разрешимых групп. Однако, если полупростые группы Ли давно классифицированы, то получить классификацию разрешимых групп Ли нет никакой надежды [57]. В общем случае контрактированная группа представляет собой полупрямое произведение своих подгрупп. В частности, контракция полупростых групп Ли приводит к неполупростым группам. Поэтому метод контракций является инструментом изучения неполупростых групп, отталкиваясь от хорошо изученных полупростых групп Ли. Метод контракций (предельных переходов) впоследствии был распространен на другие типы групп и алгебр. Градуировочные контракции (§;га1е1 сопкасНопз) [191, 194] дополнительно сохраняют введенную на алгебре Ли градуировку. Контракции биалгебр Ли [105] сохраняют алгебру Ли и кокоммутатор. Контракции алгебр Хопфа (или квантовых групп) [123, 124] вводятся так, чтобы в пределе е —> О получались новые выражения для коумножения, коединицы и антипода, удовлетворяющие аксиомам алгебры Хопфа. Все это привело Коми научный центр Уро РАН

10 Предисловие к обобщению понятия контракции на произвольные алгебраические структуры [147]. Определение 1.1. Контракцией алгебраической структуры (М, */ называется зависящее от параметра е отображение с : (Ж,*) -> «**'), (1) где (ЛГ, *') есть алгебраическая структура рассматриваемого типа, изоморфная (М, *) при е ф 0 и неизоморфная при е = 0. Существует другой подход [28] к описанию неполупростых групп (алгебр) Ли и отвечающих им квантовых групп, основанный на рассмотрении этих алгебраических структур над алгеброй Пименова Р„(г) с нильпотентными коммутативными образующими. При этом важный класс групп — групп движений пространств с постоянной кривизной (или групп Кэли-Клейна) — реализуется как матричные группы специального вида над Р„(г) и может быть получен из простой классической ортогональной группы заменой ее матричных элементов на элементы алгебры Р„(г). Оказывается, что такая замена формально совпадает с введением параметров е в методе контракций Вигнера-Иненю [164]. Тем самым наш подход демонстрирует, что математической основой метода контракций алгебраических структур является существование соответствующих структур над алгеброй Р„(г). Следует отметить, что оба подхода дополняют друг друга и в конечном счете приводят к одинаковым результатам. Нильпотентные образующие удобнее использовать при математическом анализе контракций, тогда как стремящийся к нулю контракционный параметр больше отвечает физической интуиции, в соответствии с которой состояние физической системы изменяется непрерывно и система плавно переходит к своему предельному состоянию. В главах 8 и 15, посвященных применению метода контракций, используется как раз традиционный подход. В геометрии известно (см. обзор [84]), что с помощью проективной метрики можно получить 3" геометрий размерности п, допускающих максимальную группу движений. Р.И. Пименов [64, 69]предло- жил единое аксиоматическое описание всех 3" геометрий пространств постоянной кривизны (геометрий Кэли-Клейна) и показал, что все они локально моделируются в виде области п-мерного сферического пространства с именованными координатами, которые могут быть вещественными, чисто мнимыми или нильпотентными. В соответствии с Эрлангенской программой Ф. Клейна, главное в геометрии — это ее группа преобразований, тогда как свойства преобразуемых объектов — вещи второстепенные. Группа движений п-мерного сферического пространства изоморфна ортогональной группе 8О(п+ 1). В свою очередь, группы, получающиеся из 5<9(п + 1/ контракциями и аналитическими продолжениями, изоморфны группам движений систем Кэли-Клейна, что обеспечивает геометрическую интерпретацию схемы контракций Коми научный центр Уро РАН

Предисловие 11 Кэли-Клейна. По аналогии эта интерпретация переносится на случай контракций других алгебраических систем. Цель настоящей книги — дать единое описание групп (алгебр), супералгебр и квантовых групп Кэли-Клейна с помощью контракций ортогональных, унитарных, симплектических групп (алгебр) Ли, классических супералгебр и квантовых деформаций простых классических групп. Метод, позволяющий достичь поставленной цели, — это имеющий ясную геометрическую интерпретацию метод переходов, основанный на введении набора контракционных параметров у’ = (Д, ... ,у„), каждый из которых принимает по три значения: вещественная единица, чисто мнимая единица, нильпотентная единица. Метод переходов между группами, помимо самостоятельного интереса для теории групп, представляет интерес и для теоретической физики. Если имеется теоретико-групповое описание физической системы с какой-то группой симметрии, то контракция группы симметрии отвечает некоторому предельному поведению системы. Таким образом, переформулировка описания системы в терминах метода переходов и физическая интерпретация параметров у’ открывает возможность изучать поведение физической системы в различных предельных случаях. Пример такого подхода изложен в главе 8 для электрослабой модели взаимодействия элементарных частиц. Представляется, что развитый формализм является необходимым инструментом для построения «общей теории физических систем», в соответствии с которой «необходимо перейти от инвариантногруппового изучения одной отдельно взятой физической теории или геометрии, понимаемой в смысле Клейна (т. е. характеризуемой заданием основной группы), к одновременному изучению сразу того или иного множества предельных теорий. Тогда некоторые физические и геометрические свойства будут инвариантными характеристиками всего множества теорий — их следует рассматривать в первую очередь. Другие свойства будут специфичны только для конкретных представителей множества и будут меняться при предельном переходе от одной теории к другой» [41]. Часть первая монографии посвящена контракциям классических групп и некоторым их применениям. В главе 1 кратко описывается алгебра Пименова с нильпотентными образующими, даются определения ортогональных, унитарных и симплектических групп Кэли-Клейна, находятся их генераторы, коммутаторы и операторы Казимира преобразованием соответствующих величин классических групп. Далее (раздел 1.5) исследуется структура переходов между группами и устанавливается, что в качестве исходной для получения всего набора групп Кэли-Клейна можно взять группу в произвольном нерасслоенном пространстве. В главе 2 подробно рассматриваются кинематические группы и дается интерпретация кинематик, включая экзотические кинематики Кэрролла, как пространств постоянной кривизны. Коми научный центр Уро РАН

12 Предисловие В главе 3 рассматриваются контракции леаиаердамых представлений млатеилых и ортогональных алгебр в базисе Гельфанда-Цетлина, который является особенно удобным для приложений в квантовой физике. Находятся возможною варианты контракций, приводящие к различным неприводимым представлениям контрактированных алгебр и подробно изучаются контракции общего вида, дающие в результате неприводимые представления с отличным от нуля спектром всех операторов Казимира. При многомерных контракциях, когда контрак- тированная алгебра еств полупрямая сумма нилвпотентного радикала и полупростой подалгебры, метод переходов обеспечивает построение неприводимых представлений алгебр такой доимктуры исходя из хорошо известных неприводимых представлений классических алгебр. В том случае, когда контрактированные по разным параметрам нмгебры изоморфны, получаются неприводимые представления в разных (дискретном и непрерывном) базисах. В главе 4 обосновывается эвристический принцип, согласно которому физически различные вемичи(метр, секунда, мммон и др.) геометрически моделируются размерностями пространства нл совмещаемыми группами автоморфизмов и показывается, что для единого геометрического описания болвшого числа физически различных величин подходящим инструментом является многократно расслоенная полуриманова геометрия. Демонстрируется, что полуриманово пространство специалвного вида может рассматриватвся как единая геометрическая теория аространства-еи)л)ла-эт)с^'иач)соее. Главе 5 посвящена градуированным контракциям бесконечномерной нтгебрь1 Вирасоро и лл представлений. Рассматриваются контрактированные представления старшего веса, которые являются приводимыми за исключением некоторых специалвных случаев. В главе 6 рассматривается другой тип бесконечномерных алгебр — аффинные нмглбры Каце-Муди [45]. Мнимый коренв 6 аффинных алгебр обладает свойством нилвпотентности <6- = 0 (что и приводит к бес- конечномернолти алгебры), и поэтому естественно интерпретируется как вектор расслоенного пространства. Определены корневые дадоетIы в пространствах Кэрролла с вырожденным скалярным произведением и показано их соответствие аффинным алгебрам Каце-Муди. В главе 7 определен класс ортосимплектических и унитарных супералгебр Кэта-Кт)йг), которые получаются из классических супералгебр р.тг(оо-|2а) и $((о|п) контракциями и аналитическими продолжениями в иалка2 схемы Кэта-Кт)йг). Найдены их ралиеторы Казимира. Подробно иаддлртрены контракции смаеиат||);о<гв1 лты(1|2) и ее представлений. В качестве примера применения метода контракций в физике в главк 8 рассмотрена модифицированная эл)ктиосла0ая лодета взаимодействия элементарных частиц с контрактированной калибровочной группой. Стремящийся к нмею контракционный параметр связывается с энергией нейтрино, что позволяет объяснить весьма редкое Коми научный центр Уро РАН

Предисловие 13 взаимодействие нейтрино с веществом при малых энергиях и рост сечения этого взаимодействия с ростом энергии нейтрино. Во второй части рассматриваются квантовою группы, т. е. некоммутативные и некокоммутативные алгебры Хопфа, полученные школой Л. Д. Фаддеева [50, 72, 78] в рамках метода квантовой обратной задачи. В качестве исходных исполвзуются определения и конструкции работы [72]. В главе 9 вводятся квантовые ортогоналвные группы Кэли-Клейна. Для этого систематическое определение квантовых деформаций классических простых групп и алгебр Ли в так называемом «симплек- тическом» базисе работы [72] переформулируется в декартов базис. Квантовые ортогоналвные алгебры Кэли-Клейна определяются как двойственные объекты к соответствующим квантовым группам. Полученные общие конструкции иллюстрируются на примерах квантовых групп и алгебр низших размерностей. Рекурсивный метод нахождения квантовой структуры непосредственно алгебр Кэли-Клейна евклидова типа во вращателвных образующих, развитый в работах [101] — [104], рассматривается в главе 10. Подробно изучены контракции квантовых алгебр зоДЗ) и зоу4) при разных выборах примитивных элементов в алгебрах Хопфа. Отметим, что квантовые аналоги неполупростых алгебр Ли низших размерностей впервые получены методом контракций в работах [121, 124]. При стандартной схеме контракций Кэли-Клейна разные ее сочетания со структурой алгебры Хопфа возникают за счет выбора разных примитивных элементов. В главе 11 эта идея применяется к квантовым ортогоналвным группам в декартовых образующих. Дается общее определение и в качестве примеров подробно рассматриваются контракции квантовых групп 8ОХ(Н) п₽и N = 3,4,5. В главе 12 определяются квантовые унитарные группы Кэли- Клейна и находится структура алгебры Хопфа для контрактированных квантовых унитарных групп. В разделе 12.7 изучается изоморфизм квантовой унитарной алгебры зы2(2;у) и квантовой ортогоналвной алгебры 8<?2(3;у) при разных сочетаниях схемы контракций Кэли-Клейна и структуры алгебры Хопфа. Квантовые симплектические группы Кэли-Клейна и ассоциированные с ними некоммутативные квантовые пространства рассматриваются в главе 13. С квантовыми ортогоналвными группами связаны квантовые ортогоналвные векторные пространства (или квантовые пространства Евклида), которые определяются как алгебра функций, порождаемая набором образующих, удовлетворяющих определенным коммутационным соотношениям. В главе 14 подробно описываются неизоморфные квантовые векторные пространства Кэли-Клейна с двумя и тремя образующими, являющиеся квантовыми аналогами пространств с постоянной кривизной размерности два и три. Коми научный центр Уро РАН

14 Предисловие Наиболее интересный для приложений в физике случай четырех образующих рассматривается в главе 15. Получены некоммутативные квантовые аналоги как релятивистских кинематик анти-де Ситтера, Минковского, так и нерелятивистских кинематик Нвютона, Галилея, а также экзотической кинематики Кэрролла. Некоммутативноств координат пространства-времени неразрывно связана с наличием фун- даменталвной физической константы, являющейся мерой этой некоммутативное™. Построены квантовые кинематики с фундаменталвной длиной и фундаменталвным временем. Список литературы не претендует на полноту и отражает интересы автора. Автор благодарен И. В. Костикову, В. В. Куратову за полезные обсуждения, Д. А. Тимушеву за помощв в работе над монографией. Коми научный центр Уро РАН

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy MjM4MTk=